（4）の解き方が分からないので教えてください。よくこのような問題を見かけますが、毎回どうやればいいの

Question

おしえて

（4）の解き方が分からないので教えてください。よくこのような問題を見かけますが、毎回どうやればいいの

解決済

質問者：と.っこ
質問日時：2024/03/26 19:10
回答数：6件

masterkoto · Accepted Answer

考え方は三通りほどあると思いますが
漸化式を立てて、その極限を求めるのが
真正面からの解き方だと思います
→これは面倒くさい方法になります

楽するなら次のように考えられます
スイッチ操作を何回も行い
コンデンサーの値がある値に近づく
と言う事は
ある値になってからは
スイッチ切り替えをしても電荷の移動
すなわち電流の移動がなくなると言う事ですから
このような状態は
両スイッチを閉じて十分に時間が経過した場合と同じと言う事になります
と言う事で、両スイッチ閉じの状態で考えると
左側のループにキルヒホッフの電圧測を適用して
中央コンデンサーの電圧＝Ｖ
(上極板にプラスの電荷が蓄えられている)
がすぐにわかり
このことこら、右ループにキルヒホッフ適用で、右コンデンサーの電圧＝3ボルト
(上極板が高電位)とわかります

masterkoto · Answer

補足
電圧の向き
と、いう言葉は誤解を生じやすいかもしれませんので
たとえば、コンデンサーの下側極板に対する上側極板の電位は○○
のように表現するのがベターかもしれません

masterkoto · Answer

貴方の頭の中にある考えは
概ねあっているという印象ですが
答案もしくは解答メモとしては、残念ながらわかりにくいです
…(問題集の模範解答を真似る
模試、学校、予備校の先生の添削を参考にする
等して、記述力アップは可能です！)

先ずは確認から
電圧の矢印は
電位が低い方から
電位が高方に向かって書く
ここをハッキリさせておきます
(例えば、電池ならば、マイナス極からプラス極に向かう矢印となる
→画像の電源の電圧の向きは、それぞれ左向き)

これを踏まえ
回路解析を開始した時点では
向きが不明なので
コンデンサーの電圧の向きを
それぞれ下向きと仮定した
と言う事なら
キルヒホッフより
赤ループについては
Ｖ₀+Ｖ＝0　←←←電圧上昇の総和＝電圧降下の総和
より、Ｖ＝-Ｖ₀
なので、中央コンデンサーの電圧はＶ₀で
向きは仮定とは逆向き(上極板が高電位)となります

また、緑ループにキルヒホッフ適用で
Ｖ₃+2Ｖ₀＝Ｖ…電圧上昇の総和＝電圧降下の総和
より
Ｖ₃＝Ｖ-2Ｖ₀
Ｖ＝-Ｖ₀代入で
Ｖ-2Ｖ₀＝-3Ｖ₀
∴右コンデンサーは、極板上側が高電位となり、電圧は3Ｖ₀
となります

なお、外枠のループにキルヒホッフを適用すれば
2Ｖ₀+Ｖ₀+Ｖ₃＝0より
一発でＶ₃が求まります

ちなみに、この場合、充電が完了しているので、電流に言及する必要はなさそうです

次に、こちらが貴方の考え方だと思いますが　もし、充電時の電流の様子から
各コンデンサーの電圧の向きを下向き(それぞれのコンデンサーは、下極板が高電位)と割りだしたなら
それは誤りです

左スイッチ閉じ、右スイッチ開
では
左電源のマイナス極と中央コンデンサーの下極板がつながつているので
中央コンデンサーは下極板がマイナス電荷、上極板がプラス電荷を蓄えます
ゆえに、電圧の向きは上向き
→右電源のマイナス極を電位0ボルト(アース)とすると
両スイッチを切り替えた瞬間
右コンデンサー下の電位は0
右コンデンサーは全く充電されてないので、上極板も電位0(右コンデンサーの電位差は0)
中央抵抗の上側の電位も0
で
抵抗下側の電位はプラスの値
→抵抗には下から上に向かう電流が流れる
→右コンデンサー上極板にプラスの電荷が溜まる
→右コンデンサーの電圧の向きは上向き(極板上が高電位)
となります
このことから、右極板の電圧を上向きにＶ₃として
外枠のループにキルヒホッフで(時計回り)
2Ｖ₀+Ｖ₀＝Ｖ₃　…(電源電圧+電源電圧＝右コンデンサー電圧)
となります
(赤ループにキルヒホッフと緑ループにキルヒホッフの組み合わせが貴方の考えだとは思いますが、勿論それでも良いです)

masterkoto · Answer

今寝る所ですので
補足画像は明日見させていただきます。

endlessriver · Answer

過渡解を計算すると面倒です。

C₁,C₂の電圧をV₁,V₂とし、回路の電流時計回りにiとする。
S₁開、S₂閉の回路式は
　Ri+Q₁/C+Q₂/C=E₂・・・・・①
　i=Q₁'=Q₂'
だから、①を微分して、変数をiにすれば
　Ri'+2i/C=0 
となり、この解は
　i=Aexp(-2t/RC)
となるから、十分時間がたつと、i=0 となる。

したがって、十分時間がたった時の回路式①は
　Q₁/C+Q₂/C=E₂・・・・②
となる。

また、このとき、C₁,C₂の接続部の電荷保存から
　-Q₁+Q₂=Q・・・・③
である。QはS₂閉直前の電荷の合計で、C₁の分は、常に
　Q₁=-CE₁・・・・・④ 
である。C₂の電荷は毎回、充電されて変化する。

②③から
　2Q₂/C=E₂+Q/C → Q₂/C=(E₂+Q/C)/2
となり、n回目の開閉後のとき
　Q₂[n]/C=(E₂+Q[n]/C)/2・・・・⑤
となる。

すると、③④によって
　-(-CE₁)+Q₂=Q

これを漸化式にして、
　Q[n+1]=CE₁+Q₂[n]
となるから、⑤は
　Q₂[n+1]/C=(E₂+(E₁+Q₂[n])/C)/2
　　　　　　=(E₂+E₁)/2+Q₂[n])/(2C)
 → 
　Q₂[n+1]/C=(E₂+(E₁+Q₂[n])/C)/2
　　　　　　=(E₂+E₁)/2+Q₂[n])/(2C)
このとき、V₂=Q₂/C で電圧に変換すれば
　V₂[n+1]=(E₂+E₁)/2+V₂[n]/2
 → V₂[n+1]-a=(V₂[n]-a)/2, a=E₂+E₁
 → V₂[n]-a=(V₂[1]-a)/2ⁿ⁻¹
となる。