2024.4.22 09:12にした質問の2024.4.22 13:10に頂いた以下の解答について質問があります。
「まだやってるの?
tan のローラン展開だけでもう何回目?
既に 5回や 10回じゃないでしょう。
何回説明されても理解できない公式に拘ってないで、
ふつうに (z - π/2) tan(z - π/2) をテイラー展開したら?
あなたの好きな公式も、このやり方を
一般の n+2 位の極に当てはめたものにすぎないし。」
の文章の
「(z - π/2) tan(z - π/2) をテイラー展開したら?」
に関して、テイラー展開はローラン展開とは違いnが0と正の値の範囲でしか展開出来ないと思いますが、
g(z)=(z-π/2)tan(z-π/2) をテイラー展開したら、f(z)=tan(z)をローラン展開した場合の式と同じ式になるのでしょうか?
仮に同じ式ならば、
g(z)=(z-π/2)tan(z-π/2) をテイラー展開した式とf(z)=tan(z)をローラン展開した式が同じ式になる事をどうか説明して下さい。
どうかよろしくお願い致します。
A 回答 (2件)
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No.2
- 回答日時:
tan(z)のz=π/2のまわりでのローラン展開
tan(z)=a(-1)/(z-π/2)+a(0)+a(1)(z-π/2)+…
↓両辺に(z-π/2)をかけると
(z-π/2)tan(z)=a(-1)+a(0)(z-π/2)+a(1)(z-π/2)^2+…
↓両辺を(n+1)回微分すると
(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=(n+1)!a(n)+(n+2)!a(n+1)(z-π/2)+…
↓z→π/2とすると
lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=(n+1)!a(n)
↓両辺を(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)=a(n)
↓左右を入れ替えると
∴
a(n)={1/(n+1)!}lim{z→π/2}(d/dz)^(n+1)(z-π/2)tan(z)
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