「an+1=√1+an,a0=1 を満たす数列の極限を求めよ」 という問題

an+1-an= 05/05/22 17:01
√1+an-√1+an-1=(√1+an-√1+an-1)(√1+an+√1+an-1)/√1+an+√1+an-1
=(an-an-1)/(√1+an+√1+an-1)
ここで a1-a0=√2-1>0
an+1-an>0 (n=0,1,2...)

ここでx~2=1+x
x=1+√5/2,1-√5/2 ←この二行がよくわかりません。

a1=√2
a2=1+√1+a1 < √1+2=√3
a3=√1+a2 < √1+2=√3

よってan<√3と推測できる ←a3までしかしてないのにan<√3と何故していいのかわかりません。

数列anは単調増加、有界より収束する。

M=lim an (n→∞)とおく

M~2=1+M
M=1+√5/2 1-√5/2
M>0より ←これはどこからわかるのかわかりません
M=1+√5/2

よろしくおねがいします。

No.1 ベストアンサー 回答者： sunasearch 回答日時： 2005/05/23 13:50

＞←この二行がよくわかりません。

数列の特性方程式です。
数列の漸化式で、
an+1,anを共にtとおいた特性方程式を習いませんでしたか？
最近はやらないこともあるのかも。

＞←a3までしかしてないのにan<√3と何故していいのかわかりません。

a2とa3がともに√３を超えないのと、漸化式の形は、
常に、an+1=√(1+an) と一定で、
後は、同じことが繰り返されると予想されるから。

＞M>0より ←これはどこからわかるのかわかりません

M=lim an (n→∞)で、上ですでに、
数列anは単調増加といっているのと、a0=1であることから。

この回答へのお礼

特定方程式完全に忘れてました＾＾；
もう一回高校の数学見直すことにします。
ありがとうございました。

お礼日時：2005/05/26 20:53