一様収束するか判定してほしいです

Σ[n=1,∞]　{(n-1)x^2/( 1+(n-1)x ) - ( nx^2 /(1+nx) )｝ (0<=x<=1)

この関数項級数は一様収束するか判定して頂きたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/02/04 21:34

(0≦x≦1)

f(x)
=Σ_{n=1～∞}{(n-1)x^2/( 1+(n-1)x ) - ( nx^2 /(1+nx) )}
=lim_{m→∞}Σ_{n=1～m}{(n-1)x^2/( 1+(n-1)x ) - ( nx^2 /(1+nx) )}
=lim_{m→∞}{Σ_{n=1～m}(n-1)x^2/( 1+(n-1)x )-Σ_{n=1～m}nx^2 /(1+nx)}
=lim_{m→∞}{Σ_{n=1～m-1}nx^2/(1+nx)-Σ_{n=1～m}nx^2 /(1+nx)}
=lim_{m→∞}{-mx^2 /(1+mx)}
=lim_{m→∞}{-x^2 /(x+1/m)}
=-x

f_n(x)=-x^2/(x+1/n)
とすると

任意のε>0に対して
n_0>1/εとなる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して

nx<1+nx
↓両辺をn(1+nx)で割ると
x/(1+nx)<1/n
だから

|f_n(x)+x|
=|x-x^2/(x+1/n)|
=|x/(1+nx)|
<1/n
<1/n_0
<ε

だから
f_m(x)
=Σ_{n=1～m}{(n-1)x^2/( 1+(n-1)x ) - ( nx^2 /(1+nx) )}
=-x^2 /(x+1/m)
は
-x
に
一様収束する

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2024/02/06 14:40

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/05 07:20

失礼、間違えました。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/02/04 14:24

lim[n→∞] -nx²/(1+nx)

だから、一様収束しない(x=1で発散)。