収束と集積点の関係

何度も似通った質問をごめんなさい、確認をしたいです。

収束するならば必ず集積点を持つ。(極限=集積点(が一つ))
ただし、逆は成り立たない。
(ex:A⊂ℝ，A＝{-∞，∞}のとき収束ではなく発散だが、集積点を持つ。(={-∞，∞})

合っていますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： funoe 回答日時： 2022/06/23 14:45

数列Aｎが収束する　⇒　集合｛Ａｎ；ｎは自然数｝は集積点を持つ。

これは真。

集合｛Ａｎ；ｎは自然数｝は集積点を持つ。　⇒　数列Aｎが収束する

これは偽。
例えば　Ａｎ＝（ー１）＾ｎ
もしこういう数列が気に入らないっていうなら、
チョイひねって例えば、　　Ａｎ＝１／ｎ　＋　（ー１）＾ｎ
集合｛Ａｎ｝は集積点１とー１があるけど数列Ａｎは収束しない（振動）


と、ここまでなら
「合ってますか？」の質問に「合ってるよ」ということになる。



で、無学の私には最後に書いてある
『(ex:A⊂ℝ，A＝{-∞，∞}のとき収束ではなく発散だが、
　集積点を持つ。(={-∞，∞})　　』
の意味が分からない。

「収束でなく発散」って言っているのはどんな数列？
A＝{-∞，∞}　ってなに？　Ａって要素が2個ある集合？
そもそも　∞ってＲの要素なの？
もしかして区間　Ｂ＝（-∞，∞）　のこと？　それってＲと違うの？

この回答へのお礼

申し訳ございません！
その通りです、区間　Ｂ＝（-∞，∞）（＝ℝ）のことを言いたかったです。
A=（-∞，∞）でした。
ℝ＝｛実数全体の集合｝なので　A=ℝ　だけで充分でしたね、、

まだ問題に慣れていないため、それはℝと同じ意味ということは分かていますが、＝（-∞，∞）と書き直すようにしていました。

表記間違ってしまい申し訳ございませでした、ありがとうございました！

お礼日時：2022/06/23 15:10

No.2 回答者： funoe 回答日時： 2022/06/23 17:31

ごめんなさい。

私間違えていました。

＞数列Aｎが収束する　⇒　集合｛Ａｎ；ｎは自然数｝は集積点を持つ。
＞　これは真。
はウソでした。

例えば、数列　An=1　（全項目１の数列）　はもちろん収束列ですが、
集合｛Ａｎ；ｎは自然数｝　は、要素を１つだけもつ｛１｝です。
こいつは集積点を持っていません。

謹んで訂正させていただきます。

この回答へのお礼

ああ！たしかにそうだ、、！！
ご指摘ありがとうございます(T_T)！

お礼日時：2022/06/23 21:35