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- 回答日時:
逆双曲線関数 tanh^{-1} z は
(1) tanh^{-1} x = log{(1+z)/(1-z)}
ですから,z を複素数 α+jβとして代入計算整理すれば公式が得られます.
ただし,複素数の log ですので,無限多価関数になっていることに注意が必要です.
tanh^{-1}(α+jβ) の主値は,
(2) tanh^{-1}(α+jβ)
= (1/2) tanh^{-1}{2α/(1+α^2+β^2)} + (j/2) tanh^{-1}{2β/(1-α^2-β^2)}
で,これに nπj (n は整数)を加えたものが一般値です.
主値は tanh^{-1} の加法定理を使うとか,(1)を使って log に書き直すとかで,
他にも等価な表現があります.
間違っているといけないので,岩波の数学公式集で確認しました.
なお,こういうことによく遭遇するのでしたら,この公式集は大変役に立ちます.
一組(三巻です)手元に置いて置かれることをおすすめします.
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