だ円の周上に二点Ｐ．Ｑを∠ＰＯＱ＝９０°のように取る時。。＞＿＜？

だ円ｘ＾２/ａ＾２　＋　ｙ＾２/ｂ＾２＝１の周上に二点Ｐ．Ｑを∠ＰＯＱ＝９０°のように取る時、
1/OP + 1/OQ　のとりうる最大値、最小値を求めよ！

この問題わかりません＞＿＜！！！！！
解答を見ると

ＯＰ＝p,ＯＱ＝ｑとする、p>0,q>0なので
(1/p+1/q)＾2 = 1/p＾2+1/q＾2+2/pq =1/a＾2+1/b＾2+2/pq
よって、1/pqの最大、最小を考えればよい.

（質問）上の式はどうやって作れるのですか？ゼンゼン解りません＞＿＜！！あとどうして上の式をみて、1/pqの最大と、最小を考えればよいのですか？

->解答続き
1/(p＾2q＾2) = 1/(a＾4b＾4)｛a＾2sin＾2Θ＋b＾2cos＾2Θ)(b＾2sin＾2Θ＋a＾2cos＾2Θ)

=1/(a＾4b＾4)｛(a＾4+b＾4)sin＾2Θcos＾2Θ+a＾2b＾2(sin＾4Θ+cos＾4Θ）｝

＜質問２＞上の式は何かの式に何かを代入したらこんなに長い式が出来上がったのですか！？？

ー>解答続き
ここで、sin＾4Θ+cos＾4Θ=(sin＾2Θ+cos＾2Θ)＾2－2sin＾2Θcos＾2Θ=1-2sin＾2Θcos＾2Θを用いて

1/(p＾2q＾2) =1/(a＾4b＾4) {a＾2b＾2+(a＾2-b＾2)＾2sin＾2cos＾2Θ｝
＝1/(a＾4b＾4) ｛a＾2b＾2+(a＾2-b＾2)＾2/4 sin＾22Θ｝

＜質問＞sin＾4Θ＋cos＾4Θ＝って何ですか？！～を用いてって書いてありますけど、何の事か解りません。

->続き
この式は、sin2Θ=0のとき最小、sin2Θ=1のとき最大となる。その時の値はそれぞれ、
1/(p＾2q＾2) =1/(a＾2b＾2), 1/(p＾2q＾2)=(a＾2+b＾2)＾2/(4a＾4b＾4)

よって、求める最小値は a+b/ab ,
最大値は√(2(1/a＾2 + 1/b＾2)

＜質問＞sin＾２Θ＝0の時最小と、あと～最大となるって書いてありますけど、意味が解りません。
だれかこの問題教えてください＞＿＜！！！

No.1 ベストアンサー 回答者： oyaoya65 回答日時： 2005/12/12 22:14

＞（質問）上の式はどうやって作れるのですか？ゼンゼン解りません＞＿＜！！あとどうして上の式をみて、1/pqの最大と、最小を考えればよいのですか？

＞（質問）上の式はどうやって作れるのですか？ゼンゼン解りません＞＿

前の質問
ttp://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1834908
と似たところがかなりありますので、その部分は前の質問の回答を参考にしてください。

それによれば
1/p^2 + 1/q^2 = 1/a^2 + 1/b^2 ...(1)
でしたね。（前の質問1834908の私の回答の(11)式）

＞
＜！！あとどうして上の式をみて、1/pqの最大と、最小を考えればよいのですか？

L=(1/p + 1/q) (＞0)の最大、最小を

(1)の条件で求めれば良いということですね。

L＞0の最大最小を考える問題は、(1)式の関係を利用すれば
M=L^2=(1/p + 1/q)^2=1/p^2 + 1/q^2 + 2/(pq)
={1/a^2 + 1/b^2}＋2/(pq)
の最大、最小値を求めればLの最大、最小値が求まります。
また、1/(pq)の最大、最小値を求めれば、Mの最大、最小値が求まります。

＞
＜質問２＞上の式は何かの式に何かを代入したらこんなに長い式が出来上がったのですか！？？

前の質問の私の回答の(9),(10)を掛け合わせただけの式です。

＞＜質問＞sin＾4Θ＋cos＾4Θ＝って何ですか？！～を用いてって書いてありますけど、何の事か解りません。

＜質問２＞の直ぐ上の式に「sin＾4Θ＋cos＾4Θ」が含まれているため、取り出して計算しているだけです。

長い式の一部だけの計算のために
長い式を繰り返し＝でつないで変形することを避けるため、簡単にしたい一部の式を取り出して、そこだけをあらかじめ計算して簡単化する手法は、似たような計算式を何度も書く事を省略する大切な計算法のテクニックです。

＞
＜質問＞sin＾２Θ＝0の時最小と、あと～最大となるって書いてありますけど、意味が解りません。

式を正確に書く様にしてください。

＞＝1/(a^4b^4){a^2b^2+(a^2-b^2)^2/4 sin^22Θ｝

1/(p^2 q^2)
＝1/(a^4 b^4){a^2 b^2+(a^2-b^2)^2 (1/4)sin^2(2Θ)｝

0≦sin^2(2Θ)≦1、(a^2-b^2)^2 ≧0ですから

1/(p^2 q^2)は
sin(2Θ)＝±1で最大
sin(2Θ)＝0で最小
になります。

sin(2Θ)＝±1のとき
1/(p^2 q^2)の最大値
＝{1/(a^4 b^4)}{4a^2 b^2+ (a^2-b^2)^2)}/4
＝{1/(a^4 b^4)}{(a^2+b^2)^2}/4
＝(a^2+b^2)^2/(4a^4 b^4)

sin(2Θ)＝０のとき
1/(p^2 q^2)の最小値
＝{1/(a^4 b^4)}(a^2 b^2)
＝1/(a^2 b^2)

あとはご自分で回答をよく追ってみてください。

参考URL：http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=1834908

この回答への補足

ありがとうございました！難しくてまだ良く理解していないですけど、これから頑張って何度も読み返してから寝ます＞＿＜！　

補足日時：2005/12/13 00:05