∫{1/(5+4sinx)}dx

1/(5+4sinx)を不定積分をせよ、という問題です。
tan(1/2) = tと置換して…というヒントはあるのですが、変形してもなかなか辿り付けません。お力をお貸し下さい。

No.1 ベストアンサー 回答者： oyaoya65 回答日時： 2006/01/27 11:23

＞tan(1/2) = tと置換して

tan(x/2) = t ですね。

両辺の微分をとると
(1/2)sec^2 (x/2) dx=dt
dx=2cos^2 (x/2) dt=2/{1+tan^2 (x/2)} dt
=2/(1+t^2) dt
sin x=2sin(t/2)cos(t/2)=2tan(x/2)cos^2 (x/2)
=2t/(1+t^2)
I=∫1/(5+4sinx)dx
=∫[1/{5+8t/(1+t^2)}]{2/(1+t^2)}dt
=∫2/{5(1+t^2)+8t} dt
=(2/5)∫1/{(t+4/5)^2+(3/5)^2} dt
t+4/5=(3/5)uとおくと
dt=(3/5)du
I=(2/5)∫(3/5)/{(1+u^2)(3/5)^2} du
=(2/3)∫1/(1+u^2)du
=(2/3)tan^(-1) u +C
となります。
後は変数変換した uをtに戻し、さらに tをxに戻してやればいいですね。

あとはご自身でおやりください。
出来ますね。

この回答へのお礼

すみません、ご丁寧にありがとうございました。よく分かりました。

お礼日時：2006/01/27 20:58