cos^2(x+π/4)＝Σ(n=-∞から∞)Cn・e^(inx)が全てのxに対して成り立つように定

cos^2(x+π/4)＝Σ(n=-∞から∞)Cn・e^(inx)が全てのxに対して成り立つように定数Cnを定めよという問題の解答をお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/02/09 19:43

{cos(x+π/4)}^2

={1+cos(2x+π/2)}/2
={1-sin(2x)}/2

e^(2xi)=cos(2x)+isin(2x)
e^(-2xi)=cos(2x)-isin(2x)
e^(-2xi)-e^(2xi)=-2isin(2x)
i{e^(-2xi)-e^(2xi)}=2sin(2x)
i{e^(-2xi)-e^(2xi)}/2=sin(2x)
-sin(2x)=i{e^(2xi)-e^(-2xi)}/2
1-sin(2x)=1+i{e^(2xi)-e^(-2xi)}/2

{1-sin(2x)}/2
=1/2+i{e^(2xi)-e^(-2xi)}/4
=1/2+(i/4)e^(2xi)+(-i/4)e^(-2xi)
=(-i/4)e^(-2xi)+1/2+(i/4)e^(2xi)

n≦-3のときC(n)=0
C(-2)=-i/4
C(-1)=0
C(0)=1/2
C(1)=0
C(2)=i/4
n≧3のときC(n)=0

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2023/02/09 22:04

左辺の関数の複素フーリエ級数展開をやれってことです。

公式通り。