数3の極限について教えてください。

F(x)=[cos x] ([ ]はガウス記号)
はx=0で連続か不連続かを調べよ、という問題の回答が分かりません。
回答だと、-2/π≦x≦ 2/π, x=0とすると0≦cos x<1
という説明から始まっているのですが、この-2/π≦x≦ 2/πはどこから出てきたのですか？ 0≦x≦2πの範囲で-1≦cos x≦1ではダメなのですか？
バカでも理解できるようにわかり易く教えてくださいm(__)m

No.4 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/09/11 20:05

>この-π/2≦x≦π/2はどこから出てきたのですか？

x=0での連続性を調べるには、x=0を中心に両側に一定の範囲を含めたxの範囲で考えればいいので
-π/2≦x≦π/2でなくても
-π/3≦x≦π/3,-π/4≦x≦π/4,-π/6≦x≦π/6などいづれでも構いません。

>0≦x≦2πの範囲で-1≦cos x≦1ではダメなのですか？
x=0の両側にxの範囲がないので「0≦x≦2π」ではダメです。
「-1≦cos x≦1」は関係ありません。

x=0-で 0<cos(x)<1 ∴[cos(x)]=0
x=0+で 0<cos(x)<1 ∴[cos(x)]=0
x=0でcos(x)=1　∴[cos(x)]=1

従って、x=0で[cos(x)]は不連続である。

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/12 13:23

連続であることを示す場合には、x=0 の近傍で

考えなくてはならないが、今回のように
不連続を示すには、x＞0 だけ扱っても支障無い。

ただし、[cos x]=0 以外になる x が出てくると、
本質的な問題は無いとは言え、話がゴタゴタする。

0＜x＜π/2 とか、0＜x＜1 とかの範囲で
扱ってもよいだろう。

No.3 回答者： he-goshite- 回答日時： 2013/09/11 18:13

>この-2/π≦x≦ 2/πはどこから出てきたのですか？

cosXの性質から出てきたものです。
しかも，連続／不連続を調べたいｘ＝０およびその上下を含んだ範囲です。
　
>0≦x≦2πの範囲で-1≦cos x≦1ではダメなのですか？
これも cosXの性質から出てきたものですが，そのあと，肝心の ｘ＝０での連続／不連続についての論理がうまくつながりません。
たとえば，ｘ→＋０　は調べられても，この範囲では　ｘ→－０ については範囲外なので，調べられません。

No.2 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/09/11 18:06

こんにちわ。

＞-2/π≦x≦ 2/π, x=0とすると0≦cos x<1
これは
　-π/2≦ x≦ π/2, x≠ 0とすると、0≦ cos(x)＜ 1

ということ（πが分子で、2が分母）でいいですか？

以下、その前提で書きます。
問題では x＝ 0のまわりで値がどうなるかを考えているので、
x＝ 2π/3のような値を考える必要はありません。
また、連続であることを調べるには、x→0+0、x→0-0の値を考える必要があるので、
x＝ 0の前後（±）の範囲で考える必要になります。

このような xの範囲の置き方は、sin(x)/xの極限を考えるときにも使います。
教科書を一度確認してみてください。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/09/11 18:05

F(x)=[cos x] はurlにグラフがあるので見てください。

＞回答だと、-2/π≦x≦ 2/π, x=0とすると0≦cos x<1

いくらひどい参考書でもこんなデタラメは書かないでしょう

多分

-π/2≦x≦ π/2, x≠0とすると0≦cos x<1　ゆえにF(x)=[cos x]＝0

x=0では　cosx=1 ゆえにF(x)=[cos x]＝1

従って

F(x)=[cos x]はx=0で連続

の趣旨が書いてあるはずです。


＞0≦x≦2πの範囲で-1≦cos x≦1ではダメなのですか？


x＝0の前後の連続、不連続を議論しようというのにx=0を端部に持ってきては面倒だということです。

参考URL：http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …