部分積分法で定積分を求めたいのですが～

問題集を解いていますが、3つ分からない問題がありました。
部分積分法で求めた時の途中式～答えまでの流れを教えてください。
お手数ですが、宜しくお願いします。

(1) ∫(0→π/2)　x cos2x dx

(2) ∫(0→π/4) x^(2) sin2x dx

(3) ∫(0→2π) e^(x) cos x dx

答え
(1) -1/2
(2) π/8　-　1/4
(3) { e^(2π)－1 } / 2

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/02/21 22:40

(1)I=∫(0→π/2)x*cos(2x) dx

=[x*(1/2)sin(2x)](0→π/2)-∫(0→π/2)(1/2)sin(2x)dx
=-(1/2)[-(1/2)cos(2x)](0→π/2)
=(1/4)[cos(π)-cos(0)]
=-1/2

(2)I=∫(0→π/4)(x^2)*sin(2x) dx
=[(x^2)(-1/2)cos(2x)](0→π/4)
+(1/2)∫(0→π/4)(2x)*cos(2x) dx
=∫(0→π/4)x*cos(2x) dx
=[x*(1/2)sin(2x)](0→π/4)-(1/2)∫(0→π/4)sin(2x)dx
=(π/8)-(1/2)[-(1/2)cos(2x)](0→π/4)
=(π/8)-(1/4)

(3)I=∫(0→2π)(e^(x))cos(x)dx
=[(e^(x))cos(x)](0→2π)-∫(0→2π)(e^(x))(-1)sin(x)dx
=e^(2π)-1+∫(0→2π)(e^(x))sin(x)dx
=e^(2π)-1+[(e^(x))sin(x)](0→2π)
-∫(0→2π)(e^(x))cos(x)dx
=e^(2π)-1 -I
右辺のIを左辺に移項すると
2I=e^(2π)-1
2で割って
I={e^(2π)-1}/2

この回答へのお礼

info22_さんのおかけで、当初よりかなり理解できるようになりました。有難うございます♪
とても分かりやすいです。

お礼日時：2013/02/22 02:28