xsinx-cosx=0 の解と極限

xsinx-conx=0は区間(2nπ,2nπ+π/2)に一意解Xnを持ちますが、

2nπ-Xn→0(n→∞)

であることはどのように示せばよいでしょうか。

ご回答をよろしくお願いします。

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/30 23:38

x sin x - cos x = 0 は、無数の解を持ちますが、

Xn の存在範囲を (2nπ,2nπ+π/2) としているので、
2nπ - Xn → 0 という表記に問題は無いでしょう。
lim[n→∞] 2nπ - Xn = 0 と書いても、同じです。

そのような Xn が、任意の n で唯一に定まること
を示した上で、2nπ ＜ Xn から、Xn → ∞ (n → ∞)。
Xn sin Xn - cos Xn = 0 より tan Xn = 1/Xn → 0 (n → ∞)。

これより、tan(2nπ - Xn) → 0 (n → ∞) かつ
-π/2 ＜ 2nπ - Xn ＜ 0 なので、
2nπ - Xn → 0 (n → 0) です。

No.1 回答者： naniwacchi 回答日時： 2013/09/30 23:15

2nπ-Xn→0(n→∞)

という表記が正しいかはわかりませんが、
「方程式の一般解が πの偶数倍に近づいていくことを示したい。」と解釈しました。

で、もとの方程式を
tan(x)＝ 1/x

と変形してみればどうですか？
xが大きくなれば、右辺は・・・