積分計算を使った漸化式とその極限

(1) Ln=Integrate[1/(cosx)^2n-1,{x,0,π/ 4}] に成立する漸化式を求めよ。
(2) 極限 Limit[n*Ln/2^n,n->∞] を求めよ。

分かる方、解法を教えてください。
よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

• いつも回答ありがとうございます。
  ①式について質問です。
  M[n]=nL[n]/2^n とおくと、
  M[n+1]=(n+1)L[n+1]/2^(n+1)
  ={(n+1)/n}{1/2^(n+1)}{(√2)2ⁿ⁻²+(n-1/2)L[n]}
  ={(n+1)/n}{(√2)/2^3+(n-1/2)L[n]/2^(n+1)}
  までの計算は理解できたのですが、ここから先の式変形が分かりません。
  L[n]を消去するために M[n]=nL[n]/2^n の形を作りたいのですが、どうしても L[n] が残ってしまいます。
  もう少し詳しい途中式を教えてくださると助かります。
  よろしくお願いします。m(_ _)m

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2023/07/04 21:37

No.4 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/05 07:05

さらに訂正。

となり、順次次数を下げると
　|M[n+1]-M|≦(3/4){(3/4)|M[n-1]-M|+a/(n-1)}+a/n
　　　<(3/4)²|M[n-1]-M|+(a/(n-1))(1+3/4)・・・☚
　　　　　・・・・・
　　　<(3/4)ⁿ⁻ⁿ⁰⁺¹|M[n₀]-M|
　　　　　+(a/(n-n₀))(1+3/4+(3/4)²+…+(3/4)ⁿ⁻ⁿ⁰)・・・☚
　　　<(3/4)ⁿ⁻ⁿ⁰⁺¹|M[n₀]-M|
　　　　　+(a/(n-n₀))(1+3/4+(3/4)²+…+(3/4)ⁿ⁻ⁿ⁰+…)・・・☚

　　　<(3/4)ⁿ⁻ⁿ⁰⁺¹|M[n₀]-M|+(a/(n-n₀))(1/(1-3/4))・・・☚
　　　　　=(3/4)ⁿ⁻ⁿ⁰⁺¹|M[n₀]-M|+4a/(n-n₀)・・・☚
したがって
　|M[n+1]-M| → 0
となる。m(_ _)m

No.3 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/05 00:01

たびたび失礼します。

最後の部分、訂正です。

　　　　　　　<(3/4)ⁿ⁻ⁿ⁰⁺¹|M[n₀]-M|
　　　　　　　　　　　+(a/n)(1+3/4+(3/4)²+・・・)
　　　　　　　<(3/4)ⁿ⁻ⁿ⁰⁺¹|M[n₀]-M|+(a/n)(1/(1-3/4))
　　　　　　　　=(3/4)ⁿ⁻ⁿ⁰⁺¹|M[n₀]-M|+4a/n
したがって
　|M[n+1]-M| → 0
となる。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/04 23:20

1.　質問について

　L[n+1]={(√2)2ⁿ⁻²+(n-1/2)L[n]}/n
において
　M[n+1]=(n+1)L[n+1]/2ⁿ⁺¹
ですから、L[n+1]を入れて
　M[n+1]=(n+1)/2ⁿ⁺¹{(√2)2ⁿ⁻²+(n-1/2)L[n]}/n
　　　　={(√2)2ⁿ⁻²/2ⁿ⁺¹+(n-1/2)L[n]/2ⁿ⁺¹}(n+1)/n
　　　　={(√2)2⁻³+(n-1/2)(1/2n)nL[n]/2ⁿ}(n+1)/n
　　　　={(√2)/2³+(n-1/2)(1/2n)M[n]}(n+1)/n
となり、①が得られます。


2.　実は単調減少の議論が間違ってました。M[n]の評価が定ま
らないので議論が成り立たない。実際にも増加から減少に移行
するようです。

そこで、①でn → ∞としたとき、M[n] → Mと仮定すると
　M=(√2)/8+M/2 (M=(√2)/4)
の関係がある。このMを使って(M → (√2)/8+M/2 として)
　|M[n+1]-M|=|{(√2)/8+((n-1/2)/2n)M[n]}{(n+1)/n}
　　　　　　　　　　-(√2)/8-M/2|
　　　=|{(√2)/8}(1+1/n)+((n-1/2)/2n)M[n]{(n+1)/n}
　　　　　　　　　　-(√2)/8-M/2|
　　　=|(√2)/(8n)+((n-1/2)/2n)M[n]{(n+1)/n}-M/2|
　　　=|(√2)/(8n)+((n-1/2)/2n)(M[n]-M){(n+1)/n}
　　　　　　{(n-1/2)(n+1)/n²-1}M/2|

　　　=|(√2)/(8n)+{(n-1/2)(n+1)/2n²}(M[n]-M)
　　　　　　{(n-1/2)(n+1)/n²-1}M/2|
ここで、1、3項は
　(√2)/(8n), {(n-1/2)(n+1)/n²-1} → 0
だから、nを十分大きくとれば、ある正数 aが存在して
　(√2)/(8n), {(n-1/2)(n+1)/n²-1}<a/(2n)
とすることができ
　|M[n+1]-M|≦{(n-1/2)(n+1)/2n²}|M[n]-M|+a/2n+a/2n
とできる。また
　(n-1/2)(n+1)/2n²<3/4
だから、n≧n₀のとき、上の不等式が成り立つとすると
　|M[n+1]-M|≦(3/4)|M[n]-M|+a/n
となり、順次次数を下げると
　|M[n+1]-M|≦(3/4){(3/4)|M[n-1]-M|+a/(n-1)}+a/n
　　　　　　　<(3/4)²|M[n-1]-M|+(a/n)(1+3/4)
　　　　　・・・・・
　　　　　　　<(3/4)ⁿ⁻ⁿ⁰⁺¹|M[n₀]-M|
　　　　　　　　　　　+(a/n)(1+3/4+(3/4)²+・・・)
　　　　　　　<(3/4)ⁿ|M[n₀]-M|+(a/n)(1/(1-3/4))
　　　　　　　　=(3/4)ⁿ|M[n₀]-M|+4a/n
したがって
　|M[n+1]-M| → 0
となる。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/04 17:33

(1)

　L[n]=∫[0,π/4] cosx/(cosx)²ⁿ dx・・・・部分積分
　　=[sinx/(cosx)²ⁿ][π/4,0]
　　　　-∫[0,π/4] sinx{-2n/(cosx)²ⁿ⁺¹} (-sinx) dx
　　=(1/√2)(√2)²ⁿ-0 - 2n∫[0,π/4] sin²x/(cosx)²ⁿ⁺¹ dx
　　=(1/√2)2ⁿ-2n∫[0,π/4] (1-cos²x)/(cosx)²ⁿ⁺¹ dx
　　=(2ⁿ/√2)-2n{∫[0,π/4] 1/(cosx)²ⁿ⁺¹ dx
　　　　　　　　　　　　　-∫[0,π/4] 1/(cosx)²ⁿ⁻¹ dx}　　
　　=(2ⁿ/√2)-2n{L[n+1]-L[n]}　　

→ (1-2n)L[n]=(2ⁿ/√2)-2nL[n+1]
→ L[n+1]=(1/2n){(2ⁿ/√2)+(2n-1)L[n]}
　　　　　={(√2)2ⁿ⁻²+(n-1/2)L[n]}/n

(2)
ここで
　M[n]=nL[n]/2ⁿ
とすると上式は
　M[n+1]={(√2)/2³+((n-1/2)/2n)M[n]}{(n+1)/n}・・・①
→ M[n+1]-M[n]={(√2)/2³}{(n+1)/n}
　　　　　　　　　　+[ {(n-1/2)/2n}{(n+1)/n}-1 ] M[n]

ここで
　{(√2)/2³}{(n+1)/n} → (√2)/8　(<1/2)
　{(n-1/2)/2n}{(n+1)/n}-1 → -1/2

つまり、nを十分大きく取れば
　M[n+1]-M[n]<0
となり、M[n]は単調減少となる(L[n],M[n]>0 は4自明)。

つまり、有界な単調減少数列M[n]は収束するから、その極限を
Mと置けば①でn → ∞として
　M=(√2)/8+M/2 → M=(√2)/4
となる。