1/(sinx+cosx)の積分

1/(sonx+cosx)の積分がわかりません。

置換席分にするのでしょうか？どなたか教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2008/10/22 15:53

sin(x)+cos(x)=√2*cos(x-π/4)なので

t=x-(π/4)と置換すれば
1/cos(t)の積分になります。

(1/√2)∫dt[1/cos(t)]
=(1/√2)∫dt[cos(t)/{cos(t)}^2]
=(1/√2)∫dt[cos(t)/{(1-sin(t))(1+sin(t))}]

sin(t)=uと置換,dt*cos(t)=duより

=(1/√2)∫[1/{(1-u)(1+u)}]du
=(√2/4)∫[{1/(1-u)}+{1/(1+u)}]du
=(√2/4)[-log|1-u|+log|1+u|]+C
=(√2/4)[-log(1-sin(t))+log(1+sin(t))]+C
=(√2/4)log[{1+sin(x+π/4)}/{1-sin(x+π/4)}]+C

No.3 回答者： info22 回答日時： 2008/10/22 16:20

#2です。

最後の行の代入のミスを訂正して下さい。
> =(√2/4)log[{1+sin(x+π/4)}/{1-sin(x+π/4)}]+C
=(√2/4)log[{1+sin(x-π/4)}/{1-sin(x-π/4)}]+C

検算）これを微分すると元の積分の被積分関数に戻りますので結果は合っています。

なお、#1さんの結果も微分すると元の積分の被積分関数に戻りますのでA#1の結果も合っています。
両者の積分結果の式を変形して行けば一致しますので、両方とも正解です。

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございます。
２種の回答がいただけたのでとても参考になりました。
これからどんどん問題が解けるようにがんばりたいとおもいます。

お礼日時：2008/10/23 21:14

No.1 回答者： nious 回答日時： 2008/10/22 15:53

分母を√2sin(x+π/4)と合成しても出来ますが、tan(x/2)=tと置換しても、

(1/√2)log|tan(x/2+π/8)|+C

この回答へのお礼

ありがとうございます！
やっぱ置換するしかないんですね。。。
置換積分は苦手なのでもっと勉強していきたいと思います。

お礼日時：2008/10/23 21:12