高校数学です。【三角関数】

この問題がわかりません。
なる早で回答お願いします！！

0≦x<2πの時、

sin^2x + 2√3sinxcosx + 3cos^2x ≧ 3

を解け。

質問者からの補足コメント

• ちなみに答えは　0≦x≦π/3、π≦x≦4π/3　です！！
  よろしくお願いします！！

    補足日時：2021/01/17 20:13

• 一人、回答欄にやばい方がいますが、無視でお願いします

    補足日時：2021/01/17 20:36

• やばい人の件は運営が削除してくださったので、気にしないでください！

    補足日時：2021/01/17 21:34

No.2 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2021/01/17 21:39

sin2x=2sinxcosx より、sinxcosx=(1/2)sin2x

cos2x=2cos²x-1 より、cos²x=(1+cos2x)/2
cos2x=1-2sin²x より、sin²x=(1-cos2x)/2

sin²x + 2√3sinxcosx + 3cos²x ≧ 3
(1-cos2x)/2+2√3(1/2)sin2x+3(1+cos2x)/2 ≧ 3
(1-cos2x)+2√3sin2x+3(1+cos2x) ≧ 6
1-cos2x+2√3sin2x+3+3cos2x ≧ 6
2√3sin2x+2cos2x ≧ 2
√3sin2x+cos2x ≧ 1

三角関数の合成公式により、
2sin(2x+π/6)≧ 1
sin(2x+π/6)≧ 1/2

0≦x<2π より、
0≦2x<4π
π/6≦2x+π/6<25π/6

よって、
π/6≦2x+π/6≦5π/6 , 13π/6≦2x+π/6≦17π/6
0≦2x≦2π/3 , 2π≦2x≦8π/3
したがって、
0≦x≦π/3 , π≦x≦4π/3

この回答へのお礼

理解できました！ありがとうございました！

お礼日時：2021/01/17 22:31