積分計算（定積分）

∫sin^2(ωt)dt 　（積分範囲：0<t<T）
の定積分の解き方を教えて下さい！

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2009/04/20 03:22

#2です。

>T=2π/ω という関係はないです。
>詳しく書きますと
>√{(1/T)∫sin^2(ωt)dt}　（積分範囲：0<t<T）…(■)
>が1/√2になる証明をしたいのです。
この(■)の式は sin(ωt) の実効値を求める式ですから、

一般的にはTとωの間に
T=nπ/ω（nは正整数）または T→∞
の関係に以外は(■)は1/√2にはなりませんよ。
通常の交流の実効値を求めるのであれば、T→∞の場合の実効値の計算式は、sin(ωt)の周期性を利用すれば、平均値は、一周期の平均値を求めれ
ば良く、T=2π/ω とおいて計算すれば十分ですね。（■）の実効値を計算する時は、一周期の平均を取れば良いことが常識（というのか暗黙の了解事項）になっています。

√{(1/T)∫[0,T}sin^2(ωt)dt}
=√[(1/T)∫[0,T] {(1/2)-(1/2)cos(2ωt)}dt]
=√[(1/2)-sin(2ωT)/(4ωT)]
この式でT=2π/ωとおけば[]内の第二項がゼロになって、
=1/√2
となることが言えます。

「T=2π/ω」または　「T=nπ/ω（nは正整数）」または 「T→∞」
のいずれかの場合以外のTに対しては、
1/√2になりませんので証明は不可能です。

この回答へのお礼

ご丁寧にありがとうございます。
なんとかできました。

言葉足らず＆こちらの勘違いですいませんでした。
今回の問題は交流電圧の実効値を求める問題です。

お礼日時：2009/04/20 21:42

No.2 回答者： info22 回答日時： 2009/04/20 00:04

解き方のヒント）

sin^2(ωt)=(1/2)-(1/2)cos(2ωt)
と変形すれば積分できるでしょう。

なお、T=2π/ω という関係を書くのを忘れていませんか？

この回答への補足

T=2π/ω という関係はないです。

詳しく書きますと
√1/T∫sin^2(ωt)dt　（積分範囲：0<t<T）
が1/√2になる証明をしたいのです。

補足日時：2009/04/20 00:11

No.1 回答者： owata-www 回答日時： 2009/04/19 23:59

２倍角の公式

cos2θ＝1-2sin^2θ
を使って
sin^2(ωt)＝{1-cos(2ωt)}/2
とすれば計算できるでしょう