三角関数の範囲について ∫1/√(a²-x²)dxをx=a･sin(t)と置いて置換積分する時tの範

三角関数の範囲について
∫1/√(a²-x²)dxをx=a･sin(t)と置いて置換積分する時tの範囲は
-π/2<t<π/2 か-π/2≦t≦π/2 又は、1周回って同じ値になるので重複しない様に-π/2≦t<π/2
どのような置いた方が良いですか？

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/05/06 14:22

∫1/√(a²-x²)dx を -a ≦ x ≦ a で積分するんですかね？

sin の周期性を考えれば、 t は幅 π の区間をどこに取ってもいんですが...

広義積分は、広義になってる場所が積分区間の端にあるほうが扱いやすい
という理由と、
√(a²-x²) = a cos(t) の右辺が単純になる
という理由から、
普通は -π/2 < t < π/2 でしょうね。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/05/06 03:53

t=±π/2の時

分母
√(a^2-x^2)
=√(a^2-{asin(t)}^2)
=√(a^2-(±a)^2)
=√(a^2-a^2)
=0
となって
1/√(a^2-x^2)は定義できないから
-π/2≦t≦π/2はダメ
-π/2≦t<π/2もダメ
∴
-π/2<t<π/2

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/05/05 08:59

-π/2<t<π/2 で広義積分となります。

というのは
　1/√(a²-x²)
は x∈(-1,1) で定義された関数です。