数学III 積分
数学IIIの積分でf(ax+b)の積分公式がありますが
b=0の時どのように考えれば良いのかわかりません
例) ∮(4x+2)dxのときは =1/8×(4x+2)^2+C だと思いますが
① ∮4x dx のときは =1/4×1/2x^2+C
=1/8×x^2+C
このように計算すると②の解答と答えが異なってしまいます①の解答はどこのやり方がおかしいのですか
② ∮4x dx=4∮x=4×1/2×x^2
=2x^2
なぜこの方法で答えが合わないのか説明お願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
②が正しい。
①の右辺先頭の 1/4 は、おそらく
4x = t での置換積分に由来するものだろうから、
それをやるなら
∫4x dx = (1/4)・(1/2)(4x)^2+C
= 2x^2+C.
じゃないとオカシイ。
ピンとこなかったら、置換積分を明示的に書いてごらん。
∫4x dx = ∫t (dt/4)
= (1/4)∫t dt
= (1/4)・(1/2)t^2+C
= (1/4)・(1/2)(4x)^2+C
= 2x^2+C.
No.2
- 回答日時:
なんか、考え違いをしているような。
f(x) = ax + b ①
と
f(t) = at + b の t に t=ax + b を代入するのとでは、意味が違いますよ?
実際に f(t) = at + b の t に t=ax + b を代入すれば
f(ax + b) = a(ax + b) + b
になりますから。
>例) ∮(4x+2)dxのときは =1/8×(4x+2)^2+C だと思いますが
違います。
単純に「x の多項式の積分」ですから
∫(x^n)dx = [1/(n + 1)] x^(n + 1) + C
の公式を使って
∫(4x + 2)dx = 2x^2 + 2x + C
です。
もし、
t = 4x + 2 ②
とおいて、
∫tdt ③
を計算したいのなら、
∫tdt = (1/2)t^2 + C ④
に②を代入して
(1/2)(4x + 2)^2 + C ⑤
ですが、これは④のように「t で積分した」ものであって、「x で積分した」ものとは違います。
微分・積分は、「どの変数で」微分・積分するのかが大事です。
もし、③を、②と置換して「x で積分」することで求めたいのなら
②より
dt/dx = 4 ⑥
として
∫tdt = ∫(4x + 2)(dt/dx)dx = 4∫(4x + 2)dx
= 4(2x^2 + 2x) + C2
= 8x^2 + 8x + C2
で、⑤で求めた
(1/2)(4x + 2)^2 + C = 8x^2 + 8x + 2 + C
の定数を
2 + C = C2
と書けば一致します。
変数を「t → x」と置換することで、「置換積分」の式を使うことになります。
No.1
- 回答日時:
①はf(4X)の不定積分
∫f(4x)dx=(1/4)∫f(t)dt
※t=4x(+b)とするとdt/dx=4なので、dx=(1/4)dtとなる。
②はただ単に、f(x)=4xの不定積分をしているだけですね。
∫f(x)dx=∫4xdx=2x^2(+c)
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 複素関数で分からない問題があります。 ∫[0->π]1/(1+sin^2x)dx という積分を考える 5 2022/12/24 22:14
- 数学 f(x,y)=-2y/(x^2+y^2) という関数を不定積分すると、 ∫ -(2y)/(x^2 + 2 2023/06/12 20:25
- 数学 数学3の、定積分に関する質問です。 ∫上端e^2下端1{dx}/{x}という問題で、[log|x|] 1 2022/06/16 12:00
- 物理学 ポテンシャルが有限で不連続の時、右側の波動関数をφ1(x)、左側をφ2(x)とする。境界条件の「波動 2 2023/06/04 13:53
- 数学 積分(面積計算) 計算する面積がX軸より下の場合マイナスをかけますが それはX軸とで囲まれている場合 3 2023/05/02 21:00
- 数学 積分 ∫dx/(x^2+a^2) を変換変数x=atan(u) を用いて積分するとき、どうなるのか教 2 2023/04/12 16:09
- 数学 次の関数を微分せよ y=sin^4 x cos^4 x という問題で自分は積の微分法で微分して y' 3 2023/05/17 20:38
- 数学 微分積分の二重積分についての問題がわからないです 2 2022/08/08 15:19
- 数学 数学積分の問題です x=a(t+sint) y=a(1-cost) tは0〜π グラフの形は「ハ」を 3 2022/08/27 12:26
- 数学 ∫[-π,π]1/(2+cosx) dxの積分はできて、 ∫[0,2π]1/(2+cosx) dxの 3 2023/02/06 12:08
関連するカテゴリからQ&Aを探す
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
小数点以下の計算 0.03629ー0.0...
-
1から9までの9個の数字から異な...
-
小三算数です。 0➗4=0 4➗0=0...
-
6年生の算数平均値
-
割合の問題について 24Lが30%に...
-
(1)10%食塩水の重量モル濃度...
-
2±√6/2が答えのとき 4±√6/2にし...
-
xかけるxって答えなんですか?
-
X2乗-1を公式を利用する因数...
-
100mを3秒で走った場合、時速に...
-
閲覧をカンランと読む人が多い理由
-
1500円に3/4を乗じるとは!?...
-
x,yを正の数とする。x,3x+2yを...
-
15000円の5%オフ の計算の仕方...
-
数学についていくつか質問させ...
-
2xy-3=0 dy/dxの求め方教えて...
-
(2分の3)の2乗と(2分の3の2...
-
6➗8= 答え 何あまり何 で答えて...
-
現代文の「さくらさくらさくら...
-
面接で、どうして〇〇県を志望...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
xかけるxって答えなんですか?
-
算数の問題教えて下さい
-
小三算数です。 0➗4=0 4➗0=0...
-
時速40㎞を分速に直すとどのく...
-
一次不定方程式の問題を解いた...
-
割合の問題について 24Lが30%に...
-
1から9までの9個の数字から異な...
-
1500円に3/4を乗じるとは!?...
-
X2乗-1を公式を利用する因数...
-
急いでいるので分かる方は教え...
-
6➗8= 答え 何あまり何 で答えて...
-
国語辞典の出てる順に並べ替え…...
-
赤のどこが間違ってますか! 正...
-
惚れてしまった〜 と言われた時...
-
関数y=2x²において、xの値が1...
-
中3数学についてです! (X3乗)...
-
(√2ー√6)の2乗の答えが、2+4√3...
-
(2分の3)の2乗と(2分の3の2...
-
yを上の式に代入するとき、その...
-
算数の速さの問題です(前に一度...
おすすめ情報