y=tanx（0＜x＜π/2） の逆関数が x=tanyなのはどうしてでしょうか？

y=tanx（0＜x＜π/2） の逆関数が x=tanyなのはどうしてでしょうか？

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/15 21:32

No.3の補足：逆関数がうまく定義できるのは単調関数の時だけです。

つまり、単調増加または単調減少関数です。御質問のy=tanxは　(0＜x＜π/2）の範囲では単調増加です。(－π/２＜x＜π/2)まで広げてもよいので、普通は、広げた方の範囲にします。この範囲の条件がある時は、y=tanxの式から、arctanｙ＝ｘに、式の変形ができるし、逆にarctanｙ＝ｘからy=tanxに変形できます。ｙ＝ｘ＋２からｙ－２＝ｘの式の変形操作ができるのと同じように、操作に熟達して下さい。

この回答へのお礼

詳しい解説ありがとうございます。
学校で例えばy=ax+bの逆関数を求める時x=y/a-b/aのようにxについての式に変形してからxとyを入れ替えると習ったのですが、yについての式のまま入れ替えても大丈夫なのでしょうか？

お礼日時：2018/02/16 13:36

No.3 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/15 19:10

これは逆関数の定義です。

数学の世界では、逆関数とはそういうものだと、取り決められたのです。
ほかの例ではｙ＝２ｘの逆関数は、ｘとｙを入れ替えて、ｘ＝２ｙですから、ｙについて解くと、ｙ＝ｘ/２です。「ｙ＝２ｘはｘを2倍することです。その逆は、ｘを2で割ることです。」もう一つ別の例ではｙ＝ｘ＋１の逆関数は、ｘとｙを入れ替えて、ｘ＝ｙ＋１ですから、ｙについて解くと、ｙ＝ｘ-１です。「ｙ＝ｘ+1はｘに1を足すことです。その逆は、ｘから1を引くことです。」
もう一つ別の例ではｙ＝ｘ^2の逆関数は、ｘとｙを入れ替えて、ｘ＝ｙ^2ですから、ｙについて解くと、ｙ＝±√ｘです。二乗の逆関数は√です。
これらの記号を使った式の変形に習熟すると計算が素早くできます。加減算のコツは移項が自由にできることです。同じように、ｙ＝±√ｘの演算記号「±√」を＝を飛び越えて左辺に移動すると逆演算の「^2」に変わって、ｙ^2＝ｘという式に変形できます。
質問のx=tanyではtanを移動させるとtan^(-1)ｘ＝ｙ、またはarctan(x)＝ｙと変形できます。注意として（0＜x＜π/2）の条件がついています。
ほかに、もう一つの変形ルール：ｙ^2＝(±√ｘ)^2という式があったら、右辺で「±√」と「^2」の二つの演算子は互いにキャンセルしてｙ^2＝ｘに変形できます。
これは、式の変形で＋２と－２をキャンセルするのと同じです。ただし、√の時は±の符号があったりして注意が必要なので、勉強して下さい。

No.2 回答者： angkor_h 回答日時： 2018/02/12 16:32

ｙとｘの次元が違うので、成り立ちません。

No.1 回答者： 酢酸納豆 回答日時： 2018/02/12 16:29

xとyの値が1:1対応のものはxとyを入れ替えるだけだからじゃないですかね。