メジアンの問題が分かりません

関数y=cos2x－sinx（０≦x＜２π）の最大値と最小値を求めよ。
与えられた実数aに対して、方程式
　　cos2x－sinx=a(0≦x＜2π)・・・・(1)
の解が４個存在するのは（　　）＜a＜（　　）のときである。
また、a＝（　　）のときに限り、(1)の解は３個存在する。

という問題なのですが、最大値、最小値は平方完成をして求めるというのは分かりました。
ですが、aの範囲とaの値の求め方がまったく分かりません。

No.1 回答者： 11th_style 回答日時： 2007/10/30 23:15

微分をしてグラフの形状を求める必要があると思います。

f(x) = cos 2x - sin x のグラフを書き、それに対してf(x) = a のグラフを上下に移動させ、交点の数を数えてみて下さい。

極値を取るときの具体的なxが求まらないので、ちょっと面倒です。

この回答へのお礼

数学II、数学Bの範囲で解かなければいけないので、微分を使えないんですが、参考になりました。有難うございました。

お礼日時：2007/11/01 19:06

No.2 ベストアンサー 回答者： debut 回答日時： 2007/10/31 00:00

cos2x－sinx=aの式は、sinx=tとでも置いたときにできる関数

f(t)=-2t^2-t+1のグラフと直線f(t)=aとの交点の座標を求める
式であるとも考えられます。
ｔはsinxだったので、ｔ＝１と－１以外では１つのｔに対して
ｘは２つになります。
したがって、交点となるｔの値が１と－１以外で２つ求まれば
ｘは４つ存在することになります。
言い換えれば、交点がｔ＝１、－１とならない部分で、放物線
f(t)=-2t^2-t+1と直線f(t)=aが２点で交わるようなaの範囲を
グラフで考えればよいことになります。
（ｔの範囲は－１以上１以下であることに注意です）
ｘが３個になる場合は、交点は２つあるが、一方がｔ＝１か－１
のどちらかになっている場合と考えられます。
グラフをかいて考えてみてください。

この回答へのお礼

xの解がtの解１つにつき２つずつ出る意味が最初分かりませんでしたが、おかげで問題が解くことができました。有難うございました。

お礼日時：2007/11/01 19:03

No.3 回答者： noah0011 回答日時： 2007/10/31 00:28

sinx=tとおきます。

（このとき-1≦t≦1）
するとこの式は、1-2t^2-t=a
すなわち、2t^2+t+a-1=0　です。

ところで、t=b(-1＜b＜1)　のとき、これをみたすxは２個存在し、
b=±1のとき、これをみたすtはただ一つ存在します。（このことは単位円を書けば容易にわかります）

つまり与式の解が４個存在するためには、
2t^2+t+a-1=0　の解がt=±1以外で2つ存在すればいいわけです。

解の公式より　2t^2+t+a-1=0　をとくと、
t=[-1±√(9-8a)]/4　となります。
tは実数で、重解ではないのですから、9-8a＞0が必要で、このときa＜9/8です。

ここで与式の解が３個となる条件を求めてみましょう。
このとき、t=[-1±√(9-8a)]/4のいずれかが1または-1であり、他方の解の絶対値が1未満であればよいのですが、一方の解が1となると、他方は-3/2となり不適です。
従って一方の解は-1であり、このとき√(9-8a)=0　すなわちa=0です。

以上より、与式の解が４個存在する条件は0＜a＜9/8
で与式の解が３個存在する条件はa=0となります。

確認のためには、ＦunctionViewというソフトをお使いください。

この回答へのお礼

解の公式を使う方法もあったんですね。そして、ソフトの紹介もしていただいて有難うございました。

お礼日時：2007/11/01 18:57

No.4 回答者： al8cino 回答日時： 2007/10/31 00:38

とりあえずcos2x-sinxのグラフ書いてみると、cos2xと-sinxのグラフを合成すればいいので、大体描けます。

これで　ｙの最小値は－２と分かります。最大値は、微分して　y'=-2sin2x-cosx=0となるｘを探してみます。２箇所ありますが、グラフの形は対称なので同じ最大値をとるはずです。
y'=-2sin2x-cosx=-2(2sinxcosx)-cosx=-cosx(4sinx+1)=0
∴cosx=0,sinx=-1/4
cosx=0のときはx=π/2で、最小値のときです。
sinx=-1/4のとき最大値です。計算でｘは求められないので、これからcos2xを求めてしまいます。
cos2x=cosx^2-sinx^2 cos2x-1=cosx^2-sinx^2-(sinx^2+cosx^2)=-2sinx^2
∴cos2x=1-2sinx^2=7/8
∴最大値　y=cos2x-sinx=7/8+1/4=9/8

cos2x-sinx=a の解は　y=cos2x-sinxとy=aの交点です。グラフを見ると
a=9/8 のとき　２個（最大値の点）
0<a<9/8 のとき　４個（ｘ＝２πは含まないので）
a=0 のとき３個
-2<a<0のとき２個
a=-2のとき１個
となります。

この回答へのお礼

自分の考えている解き方と違うやり方だったので、参考になりました。ありがとうございました。

お礼日時：2007/11/01 18:55

No.5 回答者： noname#43438 回答日時： 2007/10/31 01:50

端的に。

ｃｏｓ２ｘ＝ｃｏｓｘ＾２－ｓｉｎｘ＾２
＝１－２ｓｉｎｘ＾２
に気付けば、それほど難しくないでしょう。

この回答へのお礼

cosxの２倍角の公式は覚えているので大丈夫ですが、そのあとの解き方が分かりませんでした。

お礼日時：2007/11/01 18:53