三角比の２次方程式の解の個数という問題でわからない問題があるので、教え

三角比の２次方程式の解の個数という問題でわからない問題があるので、教えて下さい。


３０°≦Θ≦１８０°とする。ｓｉｎ＾２Θ+ｃｏｓΘ－ａ＝０・・・?　について、

（１）　?が解をもつための定数ａの値の範囲を求めよ。

（２）　?が異なる２個の解をもつための定数ａの値の範囲を求めよ。


なのですが、
（１）はｓｉｎ＾２を（１－ｃｏｓ＾２）にして、ａを移行して、
　　　　　－１≦ａ≦５／４ になるのはわかったのですが、

（２）の求め方が解説を読んでも理解できません（汗

答えは１／４＋√３／２≦ａ＜５／４　になるそうです。

どういう風に解けばよいのかがわかりません。
教えて下さい！！

No.2 ベストアンサー 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2009/12/28 15:14

cosθ＝tとすると、-1≦t≦√3/2　‥‥(1).

a＝t＋1-t＾2＝-（t-1/2）＾2＋5/4　‥‥(2)　よって、(1)の範囲で(2)のグラフを書くと、(2)のグラフの　Ａ（√3/2、（2√3＋1）/4）、Ｂ（-1、-1）の間。
ところが、2つの解をもつのは、点ＡとＣ（0、1）の間である。
又、θとtとは、30°≦θ≦180°の間で　1対1に対応する（tの1つの値に対して、θの値は1個という意味）から、（2√3＋1）/4≦a＜5/4。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

解き方を理解できました！
数学の発展だったので、自分の頭では理解不能でしたが、
こうして回答していただいてわかりました。

お礼日時：2009/12/28 18:02

No.3 回答者： LightOKOK 回答日時： 2009/12/28 16:14

osθ=x とおくと

x^2-x+a-1=0　　(-1≦x≦(√3)/2
となりますから
f(x)=x^2-x+a-1……(1)
のグラフを描いて、考えましょう。

(1)のグラフは、軸がx=1/2 ですから
２つの解をもつためには
f(-1)≧0 かつ　f((√3)/2)≧0 かつ D=-4a+5>0 ……(2)

これを計算すれば求まります。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

まとまっていてわかりやすいです。

お礼日時：2009/12/28 17:57

No.1 回答者： nag0720 回答日時： 2009/12/28 15:03

(2)

(sinθ)^2+cosθ-a=0
1-(cosθ)^2+cosθ-a=0
(cosθ)^2-cosθ+a-1=0
(cosθ-1/2)^2=5/4-a
cosθ=1/2±√(5/4-a)
より、異なる２個の解をもつためには、
a＜5/4

また、30°≦θ≦180°　なので、
-1≦cosθ≦√3/2
よって、異なる２個の解をもつためには、
-1≦1/2-√(5/4-a)　かつ　1/2+√(5/4-a)≦√3/2

-1≦1/2-√(5/4-a)
√(5/4-a)≦3/2
5/4-a≦9/4
-1≦a

1/2+√(5/4-a)≦√3/2
√(5/4-a)≦√3/2-1/2
5/4-a≦(√3/2-1/2)^2=1-√3/2
1/4+√3/2≦a

以上をまとめると、
1/4+√3/2≦a＜5/4

この回答へのお礼

参考書に載っている解説よりも詳しく回答していただいてありがとうございました！！

他のokwaveの質問を見ても同じ問題がなかったので、質問させてもらいました。

お礼日時：2009/12/28 18:07