高校数学の問題です

△ABCの内部の点Pが3PA+2PB+PC=0を満たしている。
直線APと辺BCとの交点をDとし、△PBC、△PCA、△PABの面積をそれぞれS(1)、S(2)、S(3)とするとき、

①BD:DCを求めよ。
②S(1):S(2):S(3)を求めよ。

この問題の解き方を教えていただきたいです。
途中過程が分かりません。
(問題のヒントには、「Aを始点とするベクトルで統一し、APをAB、ACで表して考える」と書いてありますが違う解き方でも大丈夫です！)

略解は、
①1:2
②3:2:1
です。よろしくお願いします。

No.4 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/18 12:13

=(2→b+→cー3→a)/3

=(2/3)・(2→b+→c) ………抜けていた！訂正！

ところで、→PD=(2→b+→c)/3 及び (2)より
=2→PD

No.3 回答者： takoハ 回答日時： 2019/02/18 12:07

全て暗算レベルですね！つまり

△PBCで考えれば、BD:CD=m:nとすれば
位置ベクトルの定義から
→PD=(n・→b+m・→c)/(m+n) の形にすればいいのだが
→PDは→aのスカラー倍である。……(1)
条件から
3→a+2→b+→c=0 ∴ー３→a=2→b+→c ……(2)
∴ ー3・→a=2・→b+→c
∴ー→a=(2・→b+→c)/(2+1) ……(3)
(1),(3)より、位置ベクトルの定義から、n:m=2:1 ……(4)
また、△ABCにおいても、同じく位置ベクトルの定義から
→AB=→bー→a
→AC=→cー→a より
→AD=( 2→AB+→AC)/(2+1)=｛2(→bー→a)+(→cー→a)｝/3
=(2→b+→cー3→a)/3
ところで、→PD=(2→b+→c)/3 及び (2)より
=2→PD
これは、点PがADの中点だから、(4)とより
△ABP:△BPD=△APC:△PCD=1:1より
△PBC:△PCA:△ABP=(1+2):2:1=3:2:1

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/02/15 15:02

ベクトルの矢印は省略

3PA+2PB+PC=0　みたいな　条件式が与えられた時に試みるべきなのが位置ベクトルに書きなおすこと、またはヒントのように始点とするベクトルで統一し式を書きなおすことです。
ヒント通りにしてみると
3PA+2PB+PC=0⇔-3AP+2(PA+AB)+(PA+AC)=0
⇔-3AP+2(AB-AP)+(AC-AP)=-6AP+2AB+AC=0
⇔AP=(2AB+AC)/6
このままでは意味が分からないのでベクトルの内分点の公式に当てはめて
(2AB+AC)/3=AP'…①となるベクトルAP'を考えます　
（点Aに関する位置ベクトルを考えるとき、AB=a,AC=c AP'=p'だから①を位置ベクトルに書きなおせば(2b+c)/3=p'となるので①は内分点を表していることは納得されることと思います。
なお、①の分母３は分子の２つベクトルの係数の和2+1=3によるものです）
すると
AP=(2AB+AC)/6=(1/2){(2AB+AC)/3}=1/2AP'…②
①はP'がBCを1:2に内分することを示していて（内分公式の意味を要確認！）②はAPがAP'と言うベクトルの半分と言う意味だからAPP'は同一直線上です
で、問題文と照らし合わせると点P’とは点Dの事であることに気が付きます
従って「①はP'がBCを1:2に内分することを示している」からD（すなわちP'）はBCを１：２に内分する点という事になります

（２）図（問題設定に忠実な正確な物ではありません）からわかる通りAP：PP'=1:1だから△PBP'=△ABP、△PP'C=△APC
またBP':CP'=１：２だから△PBP'：△PP'C＝１：２です
そこで△PBP＝ｓとすれば△PBC=3s、△PCA＝２ｓ、△PAB=ｓで回答のようになります。
ちなみに受験の時短テクニックとして図のような場合
△ABP：△APC=BP':CP'…③
(四角形ABPC=△ABC-△PBCとなる形状のとき）四角形ABPC：△PBC=AP:PP'…④
であることは覚えておくと便利です。（証明はご自分で）
途中式不要という試験（マーク式など）なら、これらのことを使って
仮に△APB=1と仮定
すると③から△APC=2
→四角形ABPC=３
④から△PBC=３
よってｓ１：ｓ２：ｓ３＝3:2:1がアッというまに分かります^-^

No.1 回答者： 20170130 回答日時： 2019/02/15 10:36

3PA+2PB+PC=0 のPA,PB,PC は明記されてないようですが（当然）ベクトルですよね

以下小文字は特記しない限り点Aを始点とするベクトルを示します

PA=-p
PB=b-p
PC=c-p

3PA+2PB+PC=0
-3p+2(b-p)+(c-p)=0
6p=2b+c
p=(1/6)(2b+c)

dはpのk倍
d=(k/6)(2b+c)

dがBCをs:tに内分するとき
d=(t/(s+t))*b+(s/(s+t))*c

したがって
2k/6 = t/(s+t)、k/6 = s/(s+t)
k=2, t=2s

s:t=1:2

k=2 より点PはADの中点、s:t=1:2 より点DはBCを1:2に内分
△PBDの面積をSとすると
△PDCの面積は2S

△PBC=△PBD+△PDC=3S
△PCAの面積は△PDCと同じで2S
△PABの面積は△PBDと同じでS