答えはわかるのですが解説の中で一般に三角形ABCの内部の点をPするとベクトルA P= ベクトルSAB

答えはわかるのですが解説の中で一般に三角形ABCの内部の点をPするとベクトルA P= ベクトルSAB＋ベクトルTAC、S> 0 .Ｔ> 0.0 <S+ T < 1の形に表される。とあったのですが、問題の式のベクトルA P＝5分の2 AB − 3分の1A Cの5分の2から3分の1を引いたら15分の1になって0より大きく1より小さい数になるのではないかと思ったのですがどなたか分かりやすく教えていただけると助かります5分の2から3分の1を引いたら15分の1になって0より大きく1より小さい数になるのではないかと思ったのですがどなたか分かりやすく教えていただけると助かります。お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/03/15 11:02

端的に、２つのベクトルの係数のうち片方でもマイナスになっていれば、Pは三角形の内部ではないとわかります

今回は　→ACの係数がマイナスなので間違いと分かるわけです

詳細は以下 　ただしベクトルの矢印は省略
線分BC上にある点をP'（BP':CP'=m:n ただしm>0,n>0)とすると内分点の公式により
AP'=(nAB+mAC)/(m+n)ですよね　
もう少し変形して
AP'=(nAB+mAC)/(m+n)={n/(m+n)}AB+{m/(m+n)}ACです
ここで、m/(m+n)=t,n/(m+n)=sとおけば
AP'={n/(m+n)}AB+{m/(m+n)}AC＝sAB+tAC…①ですが
m>0,n>0よりs>0,t>0です
したがって、s>0、t>0のとき　①右辺も内分公式でありP'は三角形ABCの辺BC上にあることにあります
裏をかえせば、s,tのいずれかが負であれば内分公式とはならず（外分公式になるので）P'は辺BC上にはないことになります　
（ちなみに,①が内分の表現である証拠は以下　
s+t={n/(m+n)}+{m/(m+n)}=(n+m)/(m+n)=1　だから
AP'=sAB+tAC=(sAB+tAC)/(t+s) s>0,t>0

参考：
s+t=1で、
s>0,t>0の条件がないとすれば、AP'＝sAB+tACは直線を表すベクトル方程式、
s>0,t>0がつくと　AP'＝sAB+tACは内分公式でかつ線分ABを表す式）

ゆえに、0<k<1である実数ｋを用いて
AP=kAP'としてやれば、APはAP'のｋ倍で、図面上でAPの矢印はAP'の矢印の縮小コピーですから
P'の位置が辺BC上にあれば（s>0,t>0であれば）、縮小コピーであるAPのベクトルの矢印の終点Pは三角形ABCの内部に来ることができます

しかし、P'の位置が辺BC上になければPは三角形ABCの内部に来ることはできないのです

このことから、S=ks,T=ktとおけば
AP=kAP'=k(sAB+tAC)=ksAB+ktAC＝SAB+TAC ですが
Pが内部にくるときは
s>0,t>0,0<k<1なので S>0,T>0であることが必要なのです

この回答へのお礼

お二方の回答はどちらも分かりやすく丁寧でした。
「参考」まで書いていただき理解することより深めることができました。
ありがとうございました。

お礼日時：2020/03/15 15:08

No.2 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/03/15 05:28

No.1 です。

補足します。
△ABCの内部に点Pがある。⇔ (→AP)＝s(→AB)+t(→AC) , s>0 ,t>0 , 0<s+t<1

(→AP)＝(2/5)(→AB)+(-1/3)(→AC)
(2/5)+(-1/3)=(6/15)+(-5/15)=1/15
0<s+t<1 は成り立っていますが、t=-1/3 なので、t>0 が成り立っていません。

No.1 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2020/03/14 23:09

(→AP)＝(2/5)(→AB)－(1/3)(→AC)

=(2/5)(→AB)+(-1/3)(→AC)
です。

この回答へのお礼

今回も丁寧な解説と回答感謝ですm(_ _)m
Ｔがマイナスになっているということを忘れていました（汗）
ありがとうございましたm(_ _)m

お礼日時：2020/03/15 15:11