二次関数の問題です。 放物線y＝x²+2x−1を直線y＝1に関して対称移動したときの方程式を求めよ。

二次関数の問題です。
放物線y＝x²+2x−1を直線y＝1に関して対称移動したときの方程式を求めよ。
と言う問題で、

y＝x²+2x−1
y＝(x+1)²−2

もとの頂点の座標は(−1,−2)

ここまでは分かるのですが、
直線y＝1に移動の仕方がわかりません。

ちなみに解答はy＝−(x+1)²+4でした。

どうしたらこの答えになるのか
分かる方教えてください！

No.1 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/01/30 19:47

y=1ということはx軸に対して平行。

y=1を軸に回転するということは、頂点のx座標は変わらない。
次に、y=1から見て、元の頂点のy座標-2は3離れているので、回転すると1+3で4となる。
あとはy=1を軸に回転で、下に凸の放物線が上に凸になるので、求める放物線の式は、

y=-(x+1)^2 + 4

となる。

この回答へのお礼

y座標−2は3はなれているとどうして分かるのですか？

お礼日時：2021/01/31 15:44

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/30 20:35

もとの頂点の座標をC(−1,−2)とします

y=1に関して対称な点を　Dとすると
y=1が線分CDの垂直2等分線ということになります
CDとy=1の交点Mの座標は(-1,1)ですから
Mの座標がCDの中点であるためには
Dの座標は(-1,1+{1-(-2)})=(1,4)です　（←←←MとCのy座標の差は3
ゆえに　DはMよりｙ座標で3高い位置にあるという計算です）

これで対称移動後の頂点が求まりました！
対称移動後は下に凸が上に凸に変わるので
x²の係数がマイナスに変わることに注意して
y=-(x-1)²+4 ・・・答えとなります


もしこの理解ができないというなら
図の全体を　1だけy方向に下げて考えやすくしてから対称移動
ふたたび1だけy方向に挙げれば元の高で対称移動したのと同じ結果
という理屈で考えることも可能です

y=1がy方向に-1移動すると　y=0(x軸となり）
グラフをｙ方向へ-1移動すると　yをy-(-1)に置き換えればよいので
y-(-1)=x²+2x−1
⇔y=x²+2x-2

これを直線(y=0に関して対称移動すれば)
-y=x²+2x-2
⇔y=-x²-2x+2＝-(x+1)²+3

これをy方向に+1平行移動すれば　y=1で対称移動したのと同じというわけで　対称移動後の式
y-1=-(x+1)²+3
⇔y=-(x+1)²+4

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2021/01/30 20:42

#2 前半の考え方で訂正

Dの座標は(-1,4)
Dを頂点に持つ下に凸の放物線の式は
y=(x+1)²+4
⇔y=x²+2x+5（←←←x²の係数が+なんで下に凸ですよね）

Dを頂点に持つ上に凸の放物線の式ではx²の係数がマイナスになるので
y=-(x+1)²+4・・・答え
⇔y=-x²-2x+3 （これなら確かに上に凸となっていますよね）

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2021/01/30 21:04

「もとの頂点の座標は(−1,−2)」この頂点座標を

グラフに書いてみましたか。
この点の y=1 に関して対称の点は どこになりますか。
元のグラフは どんな形になりますか。
実際に 手を動かして 書いてみると
分かり易いと 思いますよ。

この回答へのお礼

書いてますがよく分かりません…(T . T)

お礼日時：2021/01/31 15:45

No.5 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2021/01/31 15:54

>y座標−2は3はなれているとどうして分かるのですか？

x軸上の点(-2,0)を基準に考えてみると、

y=1上の点(-2,1)はx軸から見てy座標が+1離れている。
y=(x+1)^2 - 2の頂点(-1,-2)はx軸から見てy座標が-2離れている。

これらからy=1上の点(-2,1)とy=(x+1)^2 - 2の頂点(-1,-2)との間は、

1-(-2)=3

離れていることが分かる。

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2021/01/31 20:44

NO4 です。

他の方の回答から 疑問は解消出来ましたか。
＞書いてますがよく分かりません…(T . T)

では、どこまで分かって どこから どのように分からないのでしょうか。
先ず、問題の式 y=x²+2x-1 と y=(x+1)²-2 とは 同じ式だ、
と云う事は 分かりますか。
後ろの式は グラフが書きやすいように 変形してあります。
平方完成 と云います。
で、この式のグラフは 書けますか。
y=x² のグラフは 頂点が 原点ですが、
これを 頂点が (-1, -2) になるように 平行移動したものです。

Y=1 に関して対称移動とは、x 軸と平行な y=1 の線で
上下を逆さまにする と云う事です。
つまり 頂点の y座標 -2 は、y=1 から 3 下にありますから、
上下逆さまにすると y=1 から 3 上でなければなりません。
従って 新しい式の 頂点の y座標は 1+3=4 で y=4 になります。
x座標は 変わりませんから 頂点座標は (-1, 4) で、
初めの 下に凸な放物線の逆さまで、上の凸な放物線になります。
従って 求める式は y=-(x+1)²+4 となります。

尚、あなたは質問に「直線y＝1に移動の仕方がわかりません。」と
書いていますが、特に数学では 言葉は正確に書く必要があります。
「直線y＝1に関して対称移動の仕方が・・・」と書かなければなりません。