高校数学、逆像法の応用（悩んでいます）

（問題）
実数ｘ、ｙがｘ＾２＋ｙ＾２＝１を満たすとき、４ｘ＾２＋４ｘｙ＋ｙ＾２の取りうる値の範囲を求めよ。
ｘ=cosΘ、ｙ＝sinΘと置く方法がこの問題は一般的ですが、参考書に逆像法で解く方法が載っていて、自分で答案を書いたのですが、考えていることは正しいのでしょうか？
自分は、逆像法が苦手で、問題集で解いたことのあるような問題しか解けないという状況だったのですが、ここ数日、ほかの問題集の解説を読んで、自分なりに逆像法を納得したつもりなのですが、自分の理解していることが正しいのか不安なので、質問しました。また、逆像法で解く方法の模範解答を書いてくださり、疑問に答えていただけるとと幸いです。（言葉、論理展開の部分が知りたいので）
（自分の答案）
４ｘ＾２＋４ｘｙ＋ｙ＾２の取りうる値の範囲にｋが含まれるための条件は、
４ｘ＾２＋４ｘｙ＋ｙ＾２＝ｋ①かつｘ＾２＋ｙ＾２＝１②を満たすような実数ｘ、ｙが存在することである。
①－②×ｋを行う。★（４－ｋ）ｘ＾２＋４ｘｙ＋（１－ｋ）ｙ＾２＝０③
ｘ＝０のとき、②より、ｙ＝±１．①について、ｋ＝１であれば、①②をともに満たすような実数ｘ、ｙが存在する。
③について、ｘ≠０のとき、両辺をｘ＾２で割り、y/x=t④とおくと、③は
（１－ｋ）ｔ＾２＋４ｔ＋４－ｋ＝０⑤
⑤を満たす実数ｔが存在するとき、④によって、②（１＋ｔ＾２）ｘ＾２＝１∴ｘ＝±１/√（１＋ｔ＾２）と②を満たす実数ｘ、ｙが存在する。☆そのようなｘ、ｙは③を満たすから、①かつ②を満たすような実数ｘ、ｙが存在する。
⑤を満たすような実数ｔが存在するための条件は判別式≧０が成り立つことであり、
０≦ｋ≦５。
以上より、ｋの取りうる値の範囲は０≦ｋ≦５。
（疑問）
<1>★の部分についてですが、③をみたす実数ｘｙの存在が保証されたからと言って、①かつ②を満たすような実数ｘ、ｙの存在は不明ですよね？（①－②×ｋから③を導いたからと言って、③と①かつ②は同値ではないということでしょうか？）
<2>☆の部分ですが、ここでやりたいのは最終的には、「⑤を満たすような実数ｔが存在するときの、①かつ②を満たすような実数ｘ、ｙの存在の保証」です。①を満たすような実数ｘ、ｙの存在の確認は簡単だと思うのですが、②を満たすような実数ｘ、ｙの存在は確かめるのが無理だと思って、③を満たす実数ｘ、ｙの存在の確認にしました。②を満たすような実数ｘ、ｙの存在の確認はできるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• 

  質問をしたものです。
  皆さん回答ありがとうございます。
  質問をしてからこのサイトのパスワードを忘れてしまい、アクセスできませんでした。
  一応自分でも調べて、自分なりの理解をしました。
  少し長くなるかもしれません。皆さんの解答もきちんと読んだうえで、再度疑問に思ったことをまとめたいと思います。よろしくお願いします。

    補足日時：2015/11/23 16:25

No.3 回答者： pikaruche 回答日時： 2015/11/19 13:36

これほどの解答を思いつける人が悩むとは、信じられないですね。

①－②×ｋの逆をたどっていけば、質問者さんの解答で、①も満たされることは、自明です。No.2さんの書いている通り、ｔ＾２の係数（１－ｋ）が０かそうでないかを考えていない所が、難点でしょう。そこだけではないですか、特に問題なのは。

たとえ４ｘ＾２＋４ｘｙ＋ｙ＾２の因数分解が思いつかず、ｘ=cosΘ、ｙ＝sinΘを使わなくても、これだけ簡単に解ける方向があることを示した解答として、意義深いものですね。

どうやってこの方法を思いついたか、この方法はどれだけ一般化できる方法なのか、を考察したほうが、数学的にはためになるのではないですか？

今の受験数学が、短時間で完璧主義を押し付けるなら、器の小さい日本人を作るだけで、日本にとってはマイナスですね。

そのような悪趣味である受験数学よりも、発想、単純さ、一般性といった数学本来の魅力にこだわることが、有意義です。

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2015/11/19 03:12

とりあえず、まずは答案としての突っ込みどころ（減点ポイント）

・①かつ② ⇔ ②かつ③
・③ ⇔ （k=1,x=0）または （④かつ⑤）
という同値関係を意識するのは非常に重要です。
回答だと、一つ目の同値関係はきちんと意識されていますが、二つ目の同値関係は若干曖昧な感じですね。
場合分けして出してきた、k=1,x=0,y=±1が、最終的な答え、0≦k≦5 の中に含まれていることを、きちんと確認（言及）しないと、完全な満点はもらえません。

それから、⑤について、判別式を使う前にきちんと2次方程式になるかを確認、つまり、t^2の係数(1-k)がゼロの場合はどうかについて言及していないと、満点はもらえません。

この二つの問題点を解消すれば、質問文の答案でも、とりあえず論理の破綻ポイントはなくなるので、満点ということにはなると思います。

ただ、質問文の回答の方針は、少し疑問です。
①かつ② を ②かつ③ に同値変形したってことは、つまり、①の代わりに③を考えることにした、っていうことですね。
普通、なんで、こういうことをするかというと、①より③のほうが考えるのが簡単だからなわけです。
ところが、質問文の同値変形では、①も③も2次方程式なわけで、少なくとも私の個人的な感覚としては、全然、楽になってない。。
実際、質問文回答で、★以降で③について考察していることを、そのまま①に当てはめれば、そもそも③なんて式を出さないでも逆像法での完全な回答が完成します。

じゃあ、★以外の計算をうまい計算をすると、①そのものよりもずっと簡単な③’が得られるかと考えると、この問題では、なかなか難しいですね。例えば、①-②×4を考えると、xに関しての1次方程式になるんで少しは楽かな。（ただ、②との連立を考えると、そんなに楽になる気がしない。。）

もちろん、1さんの仰るように、①の左辺が (2x + y)^2 であることに気付けば、 ①そのものを1次方程式に変形できてしまうので、圧倒的に楽になります。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/11/17 16:33

逆像法なるものがどんなものか知りませんが、受験数学の観点から見ると実践には使えませんね。

試験場で悩みが生じるような方法は有害です。

４ｘ＾２＋４ｘｙ＋ｙ＾２＝ｋ①
ｘ＾２＋ｙ＾２＝１②
（４－ｋ）ｘ＾２＋４ｘｙ＋（１－ｋ）ｙ＾２＝０③

２つの式を連立するということは２つの条件を満たす点の集合を扱うことに他なりません。
①,②　⇒　③
これは左側が十分条件で右側が必要条件であることを示しています。同値関係にするには
①,②　⇔　③,②
とすればよい。
質問者の回答は③で結果を出して、②を確認して進めているから、疑問 <1> <2>はいずれも解消されています。結果は間違っていません。

この問題ははっきり言ってつまらない。
k=(2x+y)^2は見えていましたか。
k≧0としてk=c^2をみたすcを導入すると
①は
2x+y＝±c ①’
に還元され、直線①’と円②の接する条件が値域を与えるという、陳腐な２次方程式の話になってしまいます。①の係数が変わっていてもう少し頭を継あく問題がそのうち出てくるでしょうからその時またいろいろ試してみてください。