問
十分に広い紙に間隔Lで平行線を引き、そこに長さLの針を無作為に落とす。
針は必ず倒れるものとし、また、針と平行線の太さは無視できるとする。
針と線が交わる確率を解析的に求めよ。
解答
針の長さをA、平行線の間隔をB、A/B≡Rとする。
平行線からの針の中心Cからの距離をx、平行線の垂直方向と針のなす角をθとする。
針が平行線と交わる条件は
x≦Acosθ/2…※
である。対称性から針の中心xは(0,A/2)の一様分布、θは(0,B/2)の一様分布と考えられる。
上のxとθを座標に取りその範囲の長方形の面積ををΩとし、※の面積をΣとすると、確率Pは
P=Σ/Ω
で与えられる。従って、
Σ=int(0→π/2) Acosθ/2 dx=A/2
Ω=π/2*B/2=πB/4
∴P=2R/π
となる。ここで、A=B だから、
P=2/π
となります。※までは理解できるのですがそれ以降が釈然としません。
またA≠Bの時はどうなりますか?
Aが大きすぎると確率が1以上になってしまいます。
解説できる方お願いします。以下の本に図も載っています。
***********************************************
演習 大学院入試問題集 数学(2)(サイエンス社) P174
***********************************************
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
siegmund です.
No.2の回答の図がどうも余りよくありませんでした.
cos 曲線が θ=π/2 でゼロになっていませんでした.
曲線は描けないのでどこかでボロが出るのですが,
下のようにすればもう少しましですね.
斜線は cos 曲線のつもり.
*の部分がΣです.
○ B > A の場合
x
│
B/2├────────┐
│ │
│ │
A/2│ │
│\ │
│*\ │
│**\ │
│***\ │
│****\ │
│*****\ │
│******\ │
│*******\│
└────────┴──θ
0 π/2
○ A > B の場合
x
│
A/2│
│\
│ \
│ \
B/2├────────┐
│****\ │
│*****\ │
│******\ │
│*******\│
└────────┴──θ
0 Θ π/2
それから,
A < B,すなわち R < 1 ならこれでOKです,
と書いたのは P = P=2R/π でOKという意味です.
No.2
- 回答日時:
A < B,すなわち R < 1 ならこれでOKです.
A > B,すなわち R > 1 ならちょっと様相が異なります.
図を描いてみれば簡単です.
Ωの方は幅 π/2, 高さ B/2 の長方形ですね.
Σの方は x = (A/2) cosθの下側の面積です.
θ=0 のとき x = A/2 ですから,
A<B のときは cos 曲線はすっぽりΩの中に含まれています.
図では cos 曲線が描けないので斜線で代用してあります.
Σは*の部分の面積
x
│
│
B/2├──────────┐
│ │
A/2│ │
│\ │
│*\ │
│**\ │
└──────────┴──θ
π/2
ところが A>B ですと,θがある値までは cos 曲線の方が長方形より上にあります.
x
A/2│
│\
│ \
B/2├──────────┐
│***\ │
│****\ │
│*****\ │
│******\ │
│*******\ │
└──────────┴──θ
π/2
cos 曲線とx=B/2 が交わるθの値をΘとして
Σ = (B/2)Θ + (A/2)∫{Θ~π/2} cosθ dθ
= (B/2)Θ + (A/2)(1-sinΘ)
= (B/2)Θ + (A/2){1-(1/A)√(A^2-B^2)}
ですから
P = Σ/Ω
= (2/π){Θ + (1/B)[A-√(A^2-B^2)]}
になります.
R→∞ なら,Θ→π/2 で,上の式の{ }の第2項がゼロになりますから
めでたく P→1 というわけです.
ミスプリントなどあるかもしれませんので,チェックもよろしく.
No.1
- 回答日時:
0<A<=Bのとき
横軸をθ、縦軸をxとしグラフを書きます
xの範囲は(0、B/2) θの範囲は(0、Π/2)
標本空間Ωは、この範囲の面積で横 Π/2、縦 B/2
よって、Ω=ΠB/4
針が平行線と交わるときΣは、x<=(A/2)cosθ を満たす部分の面積
わかり易くすると、y=(A/2)cosθとθ軸で囲まれた部分の面積
ただし、0<θ<Π/2
よって、Σ=int(0-Π/2)(A/2)cosθdθ=A/2
確率P=(交わるとき)/(全体)
=Σ/Ω
=(cosのグラフの面積)/(長方形の面積)
=(2A)/(BΠ)
また、A>Bのときは、平行線と二回交わる場合があるので
また別の議論になると思います
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 電磁気学の問題がわかりません。 3 2023/07/20 22:13
- 数学 中1 数学 空間における平面と直線の問題です 2 2023/04/14 20:44
- 物理学 ごめんなさい 半径 αの円形コイルの面が地球磁界の方向に平行になるように垂直に立っている。 このコイ 1 2022/07/31 21:33
- 数学 ベクトル方程式(ヘッセの標準形)についての質問 2 2022/04/23 18:00
- 数学 『Cの微分.2』 3 2023/02/15 19:47
- 数学 数II 質問 放物線y=3-x²(-√3≦x≦√3)とx軸に平行な直線が異なる2点A,Bで交わるとき 3 2023/08/16 18:17
- 政治 電気代とガス代、高騰!経済制裁を続けて、国民に利益あるの? 26 2023/01/25 12:59
- 物理学 (1)秒針の角速度の大きさω(ω>0)を計算しなさい 単位はrad/s、πはそのまま残すこと (2) 3 2023/05/01 12:58
- 物理学 答えが合いません・・・。 4 2022/12/08 17:10
- 数学 f(x)=5x^3−5x…① ①の点A{1,f(1)}に接線 g(x)=10x−10…②と置く —— 2 2023/08/15 01:03
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
ヒステリシスループの面積の計...
-
面積を表す文字になぜSをつかう...
-
円を直線で切り取った部分の面...
-
イコール(=)と合同(≡)
-
2つの円が重なってできた図形の...
-
正方形の面積が奇数のときの一...
-
関数の積分で、積分区間の絶対...
-
長さ10 [m]の紐で囲まれている...
-
円の面積の重なり
-
「横倒しにした円柱容器に入っ...
-
小学5年生 算数 割合の問題
-
顕微鏡について、 対物レンズの...
-
面積1平方キロメートルの場所
-
楕円の一部の面積計算
-
放物面 z=x^2+y^2、0<=z<=2の曲...
-
重なっている二つの円の重複部...
-
ストークス定理
-
ほんとに大至急です!! 教えて...
-
x^(2/3) + y^(2/3) = 1で囲まれ...
-
円の途中で切った面積の出し方...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
面積を表す文字になぜSをつかう...
-
イコール(=)と合同(≡)
-
面積1平方キロメートルの場所
-
2つの重なった円の面積
-
ヒステリシスループの面積の計...
-
円の途中で切った面積の出し方...
-
三角形の中に接する半径の等し...
-
「横倒しにした円柱容器に入っ...
-
五角形のABCDEの面積をエクセル...
-
円を直線で切り取った部分の面...
-
半径5センチ、中心角135度の扇...
-
面積1の正n角形(n>=3)の周の長...
-
2つの円が重なってできた図形の...
-
重なった円の面積
-
顕微鏡について、 対物レンズの...
-
πとπの足し算
-
なぜ積分で、上の式から下の式...
-
数学の問題 解けますか???
-
正方形と内接する2つの4分の1円...
-
見かけの面積が実際の面積×cosθ...
おすすめ情報