平均自乗と標準偏差の違い

平均自乗と標準偏差の違いがよくわかりません。
どうやら平均が０の時のみ一致するようですが、平均が０ではない時は違う値をとるようです。どなたか分かりやすく説明してくれませんか？
よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2006/10/15 00:11

平均自乗という言い方はあまり目にした記憶がないので、二乗(自乗)平均のことだとして話をします。

(平均自乗だと、単に平均値を二乗したものとまぎらわしい。)

i番目のデータをxi、データ数をnとし、平均を<・・・>で表すことにすると

平均 <x> = (Σxi)/n
二乗平均 <x^2> = (Σxi^2)/n
分散 σ^2 = {Σ(xi-<x>)^2}/n
標準偏差 σ = √[{Σ(xi-<x>)^2}/n]

です。分散を計算していくと

σ^2 = {Σ(xi-<x>)^2}/n={Σ(xi^2 - 2xi<x>+<x>^2)}/n
　　 = {(Σxi^2)-2(Σxi)<x> + <x>^2 (Σ1)}/n
　　 = (Σxi^2)/n -2 <x> (Σx_i)/n + <x>^2 n/n (Σ1=n)
　　 = <x^2> -2 <x><x> + <x>^2 = <x^2>-<x>^2

となり、平均が0、つまり<x>=0のときσ^2=<x^2>、もしくは、σ＝√<x^2>です。

つまり平均が0のとき

・分散と二乗平均が一致する

もしくは、

・標準偏差と二乗平均の平方根が一致する

が正しい言い方になります。

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2006/10/14 22:56

確率変数Xにたいして，

V(X) = E[X^2] - E[X]^2
が成り立ちます．Vは分散，Eは平均です．

No.2 回答者： noname#21330 回答日時： 2006/10/14 19:51

標準偏差は、n個のデータがあった時、i番目のデータxiと

n個のデータの平均xmがあった時、
Σ(xi-xm)^2　iは1よりn
ですね。

平均自乗と言った場合、誤差の自乗平均という意味でつかわれる場合が多いです。例えば、実験で、電流をいろいろな値に変化させた場合の電圧を測定した場合、本来の値と測定値には誤差があるので、その誤差の自乗の平均が平均自乗です。この場合、標準偏差の式はあてはまりませんね。

No.1 回答者： noname#21330 回答日時： 2006/10/14 19:50

標準偏差は、n個のデータがあった時、i番目のデータxiと

n個のデータの平均xmがあった時、
Σ(xi-xm)^2　iは1よりn
ですね。

平均自乗と言った場合、誤差の自乗平均という意味でつかわれる場合が多いです。例えば、実験で、電流をいろいろな値に変化させた場合の電圧を測定した場合、本来の値と測定値には誤差があるので、その誤差の自乗の平均が平均自乗です。この場合、標準偏差の式はあてはまりませんね。