仕事算の問題（水槽算）

今、仕事算の問題をやっているのですが、どの様に解いて良いものか解説を見ても分かりません。どなたか手ほどきをお願いします。

問題：５００リットルの水槽がある。A、Bの二つの管を使い水を入れる。A管で４時間入れた後、B管だけを使って入れると３時間で満水になる。同様に、A管で２時間入れた後、B管だけを使って入れると６時間で満水になる。A管とB管を同時に使って水を入れると、この水槽は何時間何分で満水となるか。

と言う問題なのですが....解説では、まず１時間あたりの水の出る量の比を考えると、4A+3B=2A+6Bとなり、A:B＝3：2となるとあります。（ここで、何故A:B=3:2となるのかが先ず分かりません。）

その後も、解説が続くのですが、A:B=3:2が分からず、その後も理解できない状態です。どの様に解けば良いでしょうか。こんな質問をする位ですから、算数（数学）はめっぽう苦手です。

No.5 回答者： Musicful-hearts 回答日時： 2006/11/18 18:23

１時間で出てくる水の量を

Ａはaリットル、Ｂはｂリットルとする。

すると
『A管で４時間入れた後、B管だけを使って入れると３時間で満水』
４ａ＋３ｂ＝５００…(1)
『A管で２時間入れた後、B管だけを使って入れると６時間で満水』
２ａ＋６ｂ＝５００…(2)

(1)(2)から
４ａ＋３ｂ＝２ａ＋６ｂ
⇔２ａ＝３ｂ
⇔ａ＝（３/２）ｂ　　←二分の三ｂ
ここでｂ＝２ｋとすると　　←ｂが２の倍数だと（３/２）が約分される
⇔ａ＝（３/２）×２ｋ
⇔ａ＝３ｋ
よってａ：ｂ＝３ｋ：２ｋ：＝３：２

ここでａ＝３ｋ、ｂ＝２ｋとすると…(3)
(1)にそれぞれ代入して
４ａ＋３ｂ＝５００
⇔４×３ｋ＋３×２ｋ＝５００
⇔１２ｋ＋６ｋ＝５００
⇔１８ｋ＝５００
⇔ｋ＝２５０/９　　　←九分の二百五十

ここで、ＡとＢを同時に使った場合、
１時間に出てくる量はａ＋ｂ
(3)からａ＋ｂ＝３ｋ＋２ｋ＝５ｋ
よって１時間に出てくる量は
５ｋ＝５×（２５０/９）
＝１２５０/９

ここでｘ時間で満水（５００リットル）になるとすると
１２５０/９×ｘ＝５００
ｘ＝５００×９/１２５０
＝１８/5
＝３＋３/５

だから、答えは３時間と３/５時間

３/５時間＝３６/６０時間＝３６分

答え３時間３６分

No.4 回答者： springside 回答日時： 2006/11/17 18:36

答えまで書いてはいけないのかもしれませんが、この手の問題は、以下のようにやると機械的に（頭を使わず、手を動かすだけで）解けます。

A:B=3:2とか何とかは、全く考える必要がありません。

まず、以下のように置く。
　・Aの管は１時間当たり水をaリットル供給できる。
　・Bの管は１時間当たり水をbリットル供給できる。
すると、問題文から、
4a+3b=500・・・(1)
2a+6b=500・・・(2)
となる。この連立方程式は解けるので解いてしまう。
(1)×2 - (2)より、
6a = 500
よって、a=250/3となり、(1)により、b=500/9となる。
したがって、Aの管とBの管を同時に使うと、水は１時間当たり、
a+b=250/3+500/9
=1250/9リットル供給できる。

そこで、今、T時間で水槽が満水になるとすると、
1250/9 × T = 500なので、
T=18/5時間となり、これは、3時間36分である。

No.3 回答者： rom_exe 回答日時： 2006/11/17 18:11

　こんばんは ^^

　ええとまず，4A+3B=2A+6Bはおわかりになるのですよね？ 管の単位時間あたりの給水量をA,Bとすると，満水時の水量S=4A+3B=2A+6Bとなるからです．
　この式を少し変形してみましょう．左辺にはAの項だけ，右辺にはBの項だけという形にします．2A=3Bとなりましたか？
　次は分数にしてみます．左の2という係数と，右の3という係数で両辺を割ってみましょう．A/3=B/2となりましたか？
　そこでn=A/3=B/2としてみましょう．するとA=3n，B=2nとなります．つまり，A:Bは3n:2n，つまり3:2となるのです．わかりましたか？
　途中の説明がわかりにくければ言って下さいね．

No.2 回答者： debut 回答日時： 2006/11/17 18:09

４Ａ＋３Ｂ＝２Ａ＋６Ｂ　で、Ａは左にＢは右に移項

すると、
４Ａ－２Ａ＝６Ｂ－３Ｂ
計算して、
２Ａ＝３Ｂ
これをＡ＝にすると、
Ａ＝(３/２)Ｂ
となり、ＡはＢの３/２倍だということを示しています。
つまり、Ｂを１とすればＡは３/２ということです。
よって、
Ａ：Ｂ＝(３/２)：１
比の両方に２をかけて、Ａ：Ｂ＝３：２　とできます。

あるいは、Ａ：ＢはＡ/Ｂとも表されるので、
２Ａ＝３Ｂ　の両辺をＢで割って、さらに２で割って
２Ａ/Ｂ＝３　→　Ａ/Ｂ＝３/２　→　Ａ：Ｂ＝３：２
とやってもいいです。

No.1 回答者： cozyskt 回答日時： 2006/11/17 18:04

4A+3B=2A+6B

4A-2A=6B-3B
2A=3B
上記のように、Aが3のときBが2ならばこの等式は成立するので、
AとBの比率は3：2である。

この回答へのお礼

なるほど。有り難うございました。

お礼日時：2006/11/17 19:32