以下、解析概論(高木貞治)からの引用です。
> "f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことに
> する.すなわちこの定義によれば
> dy=f'(x)・△x. (4)
> 今同様の意味において、x それ自身をx の函数とみれば、x'=1だから、
> dx=△x.
> 故に上記の定義の下において、△x はx の函数なる x の微分である.これを (4) に代入すれば、
> dy=f'(x)dx (5)
> これを
> dy/dx=f'(x) (6)
> と書くならば、記号dy/dx においてdx および dy が各々独立の意味を有するから、
> dy/dx は商としての意味を有する。"
以上のことは間違いだと思うのですが、どうでしょうか?
dx=△x が成立するのは、 y=x という〔*特殊な函数*の場合〕に限ってのことである。
従って、〔 y=f(x) が *(微分可能な)任意の函数*である場合〕の
dy=f'(x)・△x ----------------------- (4)
に、△x=dx として代入することは許されない(!)。
もしも、そんなことが許されるのであれば、y=x の場合には dy=dx=△x であるのだから、dy=△x も (4) に代入できる筈であり、そうすると、
△x=f'(x)・△x
∴ f'(x)=1
となってしまい、「y=f(x) は*(微分可能な)任意の函数*である」という仮定に反し、不合理である。
よって、(4) でdy を定義してみたところで、それから dy/dx=f'(x) が導けるわけではない。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
別に間違っていないと思いますが。
質問者さんは混乱されているようです。
y=f(x)=xの場合は確かにf'(x)=1となり合っています。
べつに任意の関数に対してf’(x)=1となるわけではありません。
dy=f'(x)・△x に、△x=dx を代入することに疑問をもたれているようですが、y=f(x)によらず、△x=dxは成り立っています。
y=xを、dy=f'(x)・△xに代入して△x=dxが得られますが、
これは常に成り立っているので代入することに問題はありません。
No.4
- 回答日時:
そもそも Δx は y=f(x) とは「無関係」なものですので
f(x) から離れて扱っても問題ないです.
========
名著中の名著なのは間違いないですが
古典なのでその分は割り引きましょう.
この文脈の意図は,微分「係数」という言葉の
直観的な理解が目的なんでしょうね.
#Taylor展開まで理解すれば「係数」なのは
#明確になるでしょう.
現代的な意味で,まじめに「微分」しようと思ったら,
接空間とか外微分とかそういうのをきっちりやらないと
すっきりはしないですし,そうなると微分幾何とか
多様体論の初歩になってしまいます
No.3
- 回答日時:
えっと....
昔ネットニュースで見たネタのような気が.... 次は Δx のネタかなぁ?
閑話休題.
少なくとも, 最後のところは「y = x の場合には」といって導いた結果のはず. つまり, そこでは「y = f(x) が任意の関数」という仮定はされていません. なぜ「y = f(x) は任意の関数」という仮定に反しちゃったかというと, 自分で y = x と限定しちゃったからです.
No.2
- 回答日時:
質問者は混乱されているようであるが、多少面倒であっても、
(4)式の dy=f'(x)Δx を
(4)dy={y=f(x)の時の導関数であるf'(x)}・Δx と書き、
dx=△x を
dx={y=xの時の導関数である1}・△x と書いてみると
dy={y=f(x)の時の導関数であるf'(x)}・Δx
={y=f(x)の時の導関数であるf'(x)}・dx/{y=xの時の導関数である1}
=[{y=f(x)の時の導関数であるf'(x)}/{y=xの時の導関数である1}]・dx
=[f'(x)/1]・dx
=f'(x)dx
となり、混乱を避けることができるのではないだろうか。
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