インド数学での掛け算について

1/7「世界ふしぎ発見」でインドがテーマに放送がありまして、
その中で「インド数学」というものの紹介がありました。

2桁の掛け算を暗算のように簡単に答えを出すのだそうですが、その方法とは
《番組例》75×75＝5625の場合
　　　7：5×7：5　(位ごと分けて計算をするらしい）
　　　　
　 まず1の位どうしで5×5で25　
　 5×5 = ○,○25　…　(1)

　　次に10の位で7×7なのですが、番組では
　　　 7：5×7：5　(位ごと分けて計算をする）
　　 ＋1 (なぜか1を足して）　ここで1をどうして足すのかが不明
　　　 8　 ×7 = 5,6○○　…　(2)
　　
　　(1)と(2)をあわせ　5,625　と計算の答えを出していました。

こんな簡単な計算方法があるのなら苦労しないで暗算ができそうですが
他の2桁の掛け算をしてみますと、この方法はどうも当てはまらないようです。
番組ではこの法則を応用すれば他の数も計算できるようなことを言っていましたが、
なぜ、75×75の場合には、7×7に「1」を加えるのか？
他の数字のときはいくら加えればいいのか？
この肝心なところが判りません。

これが判れば、電卓のお世話になることも少なくなるかもしれません。
どなたか・・・おわかりになりますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2007/01/06 23:06

一の位が5である数はかならず

10a+5

と表記できます．これを二乗するのだから

(10a+5)^2 = (5(2a+1))^2
= 5^2 (2a+1)^2 = 25 (4a^2+4a+1)
= 100a^2+100a + 25
= 100a(a+1) + 25
です
すなわち，75 だったら
a=7 で， 7 x (7+1) = 56 に 100 をかけて 5600
これに 25 をたすので 5625 です
これは一の位が5であるとき限定です．

この手のものだと，他には

49 x 51 とか，74 x 76

というタイプもあります．
前者は2499，後者は5624が瞬時に出せます．
＃ヒント「和と差の積」

ぶっちゃけた話，番組の中でのジョークに過ぎませんが
今の時代では．機密でも秘法でもなんでもなくって
中学3年生で一番最初にやる数学の単元
「展開公式」の応用です
＃ただし，昔は本当に「秘法」だったのは容易に想像できますし
＃文字なしでこれを導出するのは本当に困難だと思います．

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
すっかり番組での紹介を真に受けてしまったようですが、
数学レベルの低い私には「聖典」のように感じてしまったわけです(＠_＠;)

結局はそんな甘い話はないのですが、もう少し数学のことを今更ですが勉強してみてもいいかなあと思いました。

お礼日時：2007/01/07 13:36

No.6 回答者： gura_ 回答日時： 2007/01/07 00:28

#5さんの仰ることを整理してみました。

a,b,c をそれぞれ一桁の整数とし、
初めの数字をax10+b、次の数をax10+c で表すと、積sは、
s=(ax10+b)x(ax10+c)
=(ax10)x(ax10)+(ax10)x(b+c)+bxc
=(ax10)x(ax10+b+c)+bxc
ここで、b+c=10 なら
s=(ax10)x(ax10+10)+bxc
=(ax10)x(a+1)x10+bxc
=ax(a+1)x100+bxc
一項目は百の倍数で一の位と十の位は零、二項目は百未満の数だから並べて書けばよい。
つまり一の位が足して「１０」になり、十の位が同じ数字の特殊な場合は、
十の位の数字とそれに１を加えた数の積に並べて、bxc を二桁で書けばよい。ということになります。つまり、
75x75=7x(7+1)x100+5x5=56x100+25=5625
同様に、
63x67=6x(6+1)x100+3x7=42X100+21=4221
48x42=4x(4+1)x100+8x2=20x100+16=2016

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
番組で紹介していたものがものすごく簡単そうだったので
計算の法則さえマスターすれば・・・と思ったのですが
実際に数式を分解してみますと、暗算的には答えは出せないものなのですね。
紹介されていた方法が本当に有効なら、みんなも既に知っていて実際にも普及していることと思います。
私も番組を見ていて、肝心なところは聞いていなかったようです。(^^ゞ

お礼日時：2007/01/07 14:09

No.5 回答者： tatsumi01 回答日時： 2007/01/06 23:21

５０年以上昔ですが、大道芸でやってました。

一瞬にして答えを出したあと、テクニック本を売るものです。

１の位が「５」でなくとも、足して「１０」になり、１０の位が同じ数字ならいいんです。
６３×６７＝４２２１
４８×４２＝２０１６

この計算法があてはまる数字が偶然現れることなんて実生活では期待できませんね。テクニック本を買った人は怒ったでしょう。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
そうですか、大道芸でこういうことをしていたら、きっと強く納得して私は買っていそうな気がします。(^^ゞ

皆さんの意見を聞く限り、自分の暗算能力を鍛えるしかないのだと悟りました。

お礼日時：2007/01/07 13:50

No.4 回答者： alpha123 回答日時： 2007/01/06 23:16

これは日本人でも子供でも数字に興味があって九九ができれば

15X15=225
25X25=625
35X35=1225
45X45=2025
55X55=3025
65X65=4225
75X75=5625
85X85=7225
95X95=9025
は暗算できます（＾＾）　この偉大な人類の知恵に気が付いたのは小学5年くらいでしたが、そろばんやっていた人や家が商売で帳面の計算手伝っていた女子はもう知っていました。

掛け算の暗記をどこまで教えるかは各国別です。インドでは99X99まで教えます（暗記します）。
米国人は伝統的に優秀な人を除けばレベルは並みですが12X12まで教える学校は多いです。ダース（12）グロス（12ダース）考慮した教育です。小学校教師の熱意ともいえます。

進学熱の韓国では小学生がクイズ感覚で競争します（＾＾）
日本でも20X20までの表を教室に貼っていたりします。この程度なら興味ある子供は覚えます。パソコンの入力でも親がへぼいローマ字入力教えなければ卒業までに勝手に覚えてかな入力して親から見れば「神業」です（＾＾）

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
結局、そういう甘い話はないのだということなのですが、多くの方からいろいろな意見が聞けて、
とても参考になりました。
私も小学生の時、授業で九九をカルタ取りに見立てクラスでカルタ大会をしたことを思い出しました。

脳がこれ以上退化しないように、折を見て脳トレでもします。(^^ゞ

お礼日時：2007/01/07 13:48

No.3 回答者： ttttaaanni 回答日時： 2007/01/06 23:14

75*75

=(70+5)*(70+5)
=70*70 + 70*5 + 5*70 + 5*5
=70*70 + 70*(5+5) + 5*5
=70*70 + 70*10 + 5*5
=7*7*100 + 7*100 + 5*5
=(7+1)*7*100 + 5*5

=(7+1)*7*100 + 5*5

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。
・・・判ったような、判らないような感じです。

お礼日時：2007/01/07 13:37

No.1 回答者： tomotaka130 回答日時： 2007/01/06 23:02

これは、あくまで１の単位が５で、かつ同じ数字を掛け合わせる（２乗）時の場合の、計算方法ですよ。

他の数字はまた話は違います。

例えば２５の２乗なんていうときには、この方法を使えば、【○２５】と書き出し、２×３＝６という計算をし、６２５と当てはめられます。

また、TVでも言っていた通り、インドでは掛け算を最低でも20の段（多い人では40の段）まで暗記します。それを元に計算をする方法はいっぱいあるそうですよ。なので、２桁の掛け算は日本人よりもずっと出来る人たち多いそうです。

一度理解しようと思ったのですが…残念ながら僕の頭にはすぐに入りませんでした…。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。
どうやら番組を片手間に見ていたため、肝心なことは聞き漏らしていたようです。
インド人はすごいですよね。
九九のように一度覚えてしまえばよいのでしょうが・・・今からするならば、やはりこういうのは努力が必要で、
地道に川島教授に脳トレで特訓してもらうしかないようです(^^ゞ

お礼日時：2007/01/07 13:25