hyouf_1(x),f_2(x),...,f_n(x)を区間[a,b]上の実数値関数とし、M=Span{f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)}とする。任意のn個の標本点(a≦)x_1<x_2<...<x_n(≦b),および任意のn個の実数a_1,a_2,...,a_nに対して適当なf∈Mが存在して、f(x_i)=a_iとなるための必要十分条件はn次の行列
|f_1(x_1) f_2(x_1) ・・・・f_n(x_1)|
|f_1(x_2) f_2(x_2) ・・・・f_n(x_2)|
|・・・ ・・・ ・・・・・・|
|f_1(x_n) f_2(x_n) ・・・・f_n(x_n)|
が正則であることを示せ。上の行列は行列式ではありません。
Span{f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)}とはf_1(x),f_2(x),...f_n(x)の線形結合全体をあらわします。つまりSpan{f_1(x),f_2(x),...,f_n(x)}={c_1*f_1(x)+c_2*f_2(x)+・・・+c_n*f_n(x)|c_1,c_2,....,c_n∈R}です。
A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
f が f_i(x) (1≦i≦n)の線形結合で表されますので、f_i(x)がfの基底となっています。
それでf_i(x)をB-スプライン関数といい、fを区分多項式といいます。(スプラインはあくまでそのうちの1つですが)以上がこの問題の背景でしょうか。
1≦i≦nに対して、f(x_i)=a_iとなる ということは
f_i(x)を基底とした区分多項式fが
No1さんの回答のように、
f(x_i)= c_1*f_1(x_i)+c_2*f_2(x_i)+・・・+c_n*f_n(x_i) = a_i
のように c_i(1≦i≦n)を使って 表される ということですね。
(連立方程式を解かなくてもいいのですが、)
上式が成り立つようなc_i(1≦i≦n)が存在するということです。
つまりn個の連立方程式でc_iが求まる→出題の行列が正則で逆行列が存在する。
ということになります。
(質問で問題をそのまま載せるのではなく、自分なりに考えたことも書いておきましょうね)
この回答への補足
ありがとうございます!!おかげさまでf(x_i)ならば行列は正則のほうは理解できました。それで正則ならばf(x_i)=a_iの十分条件のほうなんですが、行列が正則と仮定する。この行列をAとおくと、Aは正則なのでAC=y (CとyはベクトルでC=[c_1,c_2,....,c_n],y=[a_1,a_2,...,a_n])が解をもつ。よってi成分について f(x_i)=c_1*f_1(x_i)+c_2*f_2(x_i)+....+c_n*f_n(x_i)=a_iを満たす。よってf(x_i)=a_iがわかる。これで証明できていますか??
補足日時:2007/01/18 13:12No.1
- 回答日時:
ほとんど自明に近いですが。
i=1..nとして、n元連立方程式
f(x_i)= c_1*f_1(x_i)+c_2*f_2(x_i)+・・・+c_n*f_n(x_i) = a_i
を解くだけ。
この回答への補足
ありがとうございます。つまり
・f(x_1)=c_1*f_1(x_1)+c_2*f_2(x_1)+・・・+c_n*f_n(x_1) = a_1
・f(x_2)=c_1*f_1(x_2)+c_2*f_2(x_2)+・・・+c_n*f_n(x_2) = a_2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
・f(x_n)=c_1*f_1(x_n)+c_2*f_2(x_n)+・・・+c_n*f_n(x_n) = a_n
なる連立方程式をとくということですか??
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