dy/dxという微分について

x^2+y^2-2y=1のdy/dxを求めよ。と言う基本的な問題があったのですが、yの項がわかりません。(x^2)'=2x (1)'=0 と言うのは分かるのですが、yの項はどうするのでしょうか。式も丁寧に書いていただけると助かります。

No.4 ベストアンサー 回答者： y_akkie 回答日時： 2007/01/22 21:30

まず、微分とはある関数のある変数に対して行うという事を念頭に

おいてください。そのある関数をy=f(x)とおいた場合、表記方法が
dy/dxまたはf'(x)となります。(x^2)'=2xの場合においても、f(x)=x^2
という関数であると見なし、{f(x)}'=(x^2)'といった形の表記をしている
わけです。また、d(x^2)/dx や d/dx(x^2)といった表記も可能です。
今回の場合は(x^2 + y^2 -2y)' =(1)'として両辺をxで微分した
わけです。ここで注意をして頂きたいのは、yもxの関数になるという事
です。だから、y = f(x)とおいて微分をすると分かりやすいかもしれません。

さらに、dy/dx = y'=f'(x)となる事を利用すると良いでしょう。

(x^2 + {f(x)}^2 -2f(x))'=(1)'から、
2x + 2f'(x)f(x)-2f'(x) = 0となる事が分かる。
このようにして得られた等式を変形すると、
f'(x) =-x/(f(x)-1)となる事が分かります。
ここで、dy/dx = f'(x)、y=f(x)である事から、
dy/dx = -x/(y-1)となる事が分かりますね…。

この回答へのお礼

分かり易すすぎる回答ありがとうございます。
ほかの方のも分かりやすかったですが、僕の先生の教え方と似ていたためか、特に分かりやすかったです。

みなさん、ありがとうございました。

お礼日時：2007/01/22 23:59

No.3 回答者： storm50 回答日時： 2007/01/22 16:13

dy/dxというのは、yをxで微分したものを表す記号（dy/dx全体で１つの記号）です。

No.2 回答者： Mr_Holland 回答日時： 2007/01/22 14:35

　＃１さんの言われるとおり、dy/dxとはyをxで微分したものという意味です。

なぜ微分を分数の形式で表すのかに疑問をお持ちかもしれませんが、合成関数の微分や微分方程式を解くときなどで便利だからと思ってよいと思います。
　さて、問題のx^2+y^2-2y=1ですが、両辺をｘで微分してみましょう。
　　d(x^2+y^2-2y)＝d(1)/dx
　　2x+d(y^2)/dx-2dy/dx＝０
　　2x+2y・dy/dx-2dy/dx＝０
　∴dy/dx＝-x/(y-1)

　ちなみに、この式は微分方程式と呼んで、ｙを求める際に使われるものです。
　今回のケースとは逆に、dy/dxがxとyで表されるときにはこの次のように変形して変数分離の手法で次のように解きます。
　　(y-1)dy＝-x・dx
　　∫(y-1)dy＝-∫x・dx
　　y^2-2y＝-x^2+C、C:積分定数
　　x^2+y^2-2y＝C
となり、C=1とすれば元の式と同じになることが分かります。

No.1 回答者： proto 回答日時： 2007/01/22 14:18

yをxで微分するとdy/dxです。

これは、どうしてそうなるのか？と言うようなものではなくて、
yをxで微分したものをdy/dxと書く、というきまりです。

例えばy^2をxで微分すると。
合成関数の微分を思い出して、
　　{f(g(x))}' = f'(g(x))*g'(x)
なので
　　{y^2}' = 2y*y' = 2y*(dy/dx)
となります。