鶴亀算と背理

Question

鶴亀算を教えるとき、みんな鶴とすると、実際の脚の数は計算した脚の数より多くなる　脚の本数が合わないのはとてもオカシイ。
　このオカシサの原因は、前提のみんな鶴だということがオカシイからだ。
　この多い脚の分だけ、鶴は亀だったのだから、この多い脚の分を半分にすれば亀の数になる。
　と教えていますが、最初の鶴と亀がいましたといっているのに、次の段階で全部鶴と仮定すると、大抵の子供は、「？」という顔をします。
無理もないと思うのですが、これ以外の説明の仕方が浮かびません。何かもっとうまい導入の仕方がないでしょうか？
　無理やり背理法を適用しているみたいで、背理法のありがたみが分からない感じです。

tatsumi01 · Accepted Answer

No. 1 のものですが、なんで sspider さんが鶴亀算と背理法が関係すると考えたのか想像してみました。

私の挙げた例で、「鶴と亀が合わせて１４匹、足の数が合わせて４０本」を考えます。

ご承知のように、背理法では「仮定と結論の否定を与え、これから矛盾を導く」という証明法です。sspider さんは「１４匹全部が鶴である」を「結論の否定」と考え、これから矛盾を導いて背理法で証明している、と考えたのではないでしょうか。

しかし、この場合に証明すべき「結論」は何でしょうか。「１４匹全部が鶴であることはない」ですね。背理法の仮定は「１４匹全部が鶴である」ですから、
「１４匹全部が鶴である」→「足の数は２８」→「仮定に矛盾」
となって「１４匹全部が鶴であることはない」が証明できます。もちろん、この結論は正しいものです。しかし、これでは鶴と亀の数を求めたことにはなっていません。

背理法は「他の手段では証明ができない」ときの苦し紛れの証明法です。現在の問題では簡単に「鶴の数＝８羽」が出てきて、このことは簡単に証明できる（鶴の数と亀の数を用いて足の数を計算すれば問題の仮定に一致する）ので、背理法を持ち出すほどの難問ではないのです。

tatsumi01 · Answer

鶴亀算と背理法は関係ありません。

鶴亀算のおかしいところは、鶴と亀の頭を見ればどちらかわかるのに、無理やり合計を数えて何匹というところ（そもそも鶴は「羽」と数える）、鶴の足と亀の足も見てわかるのに一緒に数えるところです。大人が考えてもおかしいのに、純粋な子供が考えて素直に頭に入るわけがありません。

どうしてこうなるかというと、連立一次方程式で考えれば素直に解けるものを、変数は方程式は中学にならないと教えてはならない、と決めているからです。小学校の算数で解ける範囲で、しかも誰でも満点は取れないような問題を考え出したから無理があります。

たとえば、鶴と亀が合わせて１４匹、足の数が合わせて４０本とします。普通の解き方では、全部鶴と仮定すると足の数は２８本になる。足りない１２本は亀の足の２本分だから、亀は６匹と分かります。

これを方程式で解きます。鶴を x羽、亀を y匹とします。すると問題は
x + y = 14
2x + 4y = 40
です。ここで、x を消去するため第１式に 2 をかけて
2x + 2y = 28
これを第２式から引くと
2y = 12

この解き方を鶴亀算の解き方と比較してみて下さい。全く同じ計算をしていることが分かるでしょう。算数では変数を使ってはいけないので無理に文章で解いていますが、実は変数の消去と同じことをしているのです。逆に算数の解き方を教えるには、方程式を立てて解き、その経過を文章で説明する、という方法を取るとうまく行きます。もちろん、鶴の頭と亀の頭を同じように見る、という無理があります。

Damena · Answer

面積図を使うのはいかがでしょうか？

参考URL：http://homepage3.nifty.com/thawks/classic/arithmetic001.html

zk43 · Answer

これは背理法とは言わないと思います。
私も全部鶴にするというのはわかりにくいと思います。

次の方法は有名と思います。
鶴亀合わせて１０匹、足の合計が３２本とします。
鶴亀みんなの足を２本ずつ切ってしまったとします。
切る足は合計２×１０＝２０本で、残る足は３２－２０＝１２本。
今、鶴の足は０本、亀の足は２本なので、この１２本は全部亀の
足で、亀は１２÷２＝６匹。
鶴は１０－６＝４匹。

足を切ってしまうのは残酷で、教育上良くないので、鶴が２本足を
たたんで、亀が２本足を引っこめて、見えている足が全部亀の足
になるようにする、という考えもあります。

鶴亀は現実ではない場面なので、A店の鉛筆は１本１０円、B店の鉛筆
は１本１５円などとした方が現実味が増すのかも。この場合は、A店も
B店も１０円引きにするということを考える。

keiryu · Answer

遥か昔、小学生が考えた方法があります。

例として、「亀と鶴が１０匹で、足の合計が２４本とします。」

鶴と亀をの合計を、○○○○○　○○○○○と表します。
これに、 ○　○　○　○○　○○○○○　と足を付けます。
　　　　 ||  ||  ||　・・・・
２０本つきます。あと４本残ってますから、
　　　　||  ||
　　　　○　○　○　○　・・・
        ||  ||  ||  ||
となり、丸に４本足が付いてるのが亀、２本のままが鶴。
まったく、背理法と鶴亀算の関係の説明にはなってませんが、単に手際よく説明するのであれば、こんな方法もありますよ、ということです。

　人によっては、鶴と亀は明らかに形態が違っているから、何でわざわざ頭数と足を分けて数えるのだ、といきり立つ人もいますが、これは中国の問題を日本風に翻案したものですから、そう目くじらを立てることもないとは思うのですが、世の中には何かに付けて、揚げ足を取ることに喜びを感じる類の人もいるということで、この類のことには鈍感力を発揮するのがいいと思います、長い蛇足です。

y_akkie · Answer

＞と教えていますが、最初の鶴と亀がいましたといっているのに、次の段階＞で全部鶴と仮定すると、大抵の子供は、「？」という顔をします

全部鶴がいると仮定するのではなく、全部鶴がいるケースは比較対象として見るべきだと思います。

例えば、鶴と亀が１０匹、足の合計本数を３４本としその場合をケースIとし、鶴が１０匹いるケースIIと比べて足の合計本数が１４本多いと解釈すれば問題はないかと思います。そして、ケースIがどんな場合であればケースIIに比べて足の合計本数が１４本も多くなるのかについて考えていけば良いと思います。そして、亀が１匹、鶴が９匹いる場合、鶴が１０匹いる場合に比べて、亀の足の本数は鶴の足の本数よりも２本だけ多いので、その分だけ合計本数が増えている事を説明します。すなわち、鶴１匹が亀１匹に変わった場合、合計本数が足の本数の差分である２本だけ増えるという事を理解させます。
この事から、１４÷２＝７で、７匹の鶴が亀に変われば鶴が１０匹いる場合に比べ合計本数が１４本も多いというように結論付ければ良いかと思います。
このようにして、鶴が１０匹いるケースは単なる比較対照であり、かつ考えるときの基準して取り扱っていけば良いと思います。また、面積図や表などを用いて教えると理解が早いのではないでしょうか。
ここで、表にする場合は以下のようにすれば良いかと思います。

亀　鶴　　足の合計本数
----------------------
０　１０　　　２０
１　　９　　　２２
２　　８　　　２４
３　　７　　　２６
４　　６　　　２８
５　　５　　　３０
６　　４　　　３２
７　　３　　　３４
８　　２　　　３６
９　　１　　　３８
１０　０　　　４０

kkkk2222 · Answer

まじめな質問か？
わかる子は分かる、分からない子はわからない。
別につるかめにかぎらない。
（１）日本語の問題
（２）説明術の問題
つるかめは、この手の問題では
説明のやさしし部類
過不足算なら　まだ・・・・

怒

Ishiwara · Answer

「もし、あなたが自由に空を飛べたら‥」と言われて
「ぼく、空を飛べないもん」と答える子がいたら、
よほどひねくれているか、または、「仮定」というものが分かるところまで知能が発達していないか、どちらかでしょう。

それでも教えたいなら
「ここに鶴と亀以外の動物はいないとします。」
ではどうですか。

鶴亀算と背理

鶴亀算と背理法は関係ありません。

面積図を使うのはいかがでしょうか？

これは背理法とは言わないと思います。

遥か昔、小学生が考えた方法があります。

＞と教えていますが、最初の鶴と亀がいましたといっているのに、次の段階＞で全部鶴と仮定すると、大抵の子供は、「？」という顔をします

No. 1 のものですが、なんで sspider さんが鶴亀算と背理法が関係すると考えたのか想像してみました。

まじめな質問か？

「もし、あなたが自由に空を飛べたら‥」と言われて

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