ベクトルの問題です　　（早大－理工）_

Question

空間内の３点Ａ（２．１，－１）Ｂ（０．２－３），Ｃ（１，３，１）と０でない実数a.bが与えられている。また、点Ｘは次の式で与えられる、原点Ｏを通らない平面πの上を動く。
π：ＯＸ→＝Ω1ＯＡ→＋Ω2ＯＢ→＋Ω3ＯＣ→
ただし、Ω１、Ω２、Ω３はΩ１＋aΩ２＋ｂΩ３＝１をみたす変数である。
△ＡＢＣの重心をＧとするとき、直線ＯＧ上にＯＸ→の長さの最小値を与える点があるという。このとき、a、ｂの値を求めよ。

解答：　π：ＯＸ→＝Ω１ＯＡ→＋Ω２ＯＢ→＋Ω３ＯＣ→ ...... (A)
Ω１＋aΩ2+bΩ3=1........ (B)

Ω１、Ω２、Ω３が.....(B)を満たしながら変わるとき、（Ｂ）で定まる点Ｘの全体が平面をつくる。
Ω２＝Ω３＝０のときΩ１＝１で　　　ＯＸ→＝ＯＡ→
よって、点Ａ（２，１、－１）は点Ｘすなわちπの通過点の１つ。
Ｇは△ＡＢＣの重心だから、　Ｇ（１，２－１）

ＯＸ→の長さの最小値とは、Ｏから平面πへの垂線の長さの事
その最小値を与える点Ｄが直線ＯＧ上にあるとは、
ＯＧが平面πの法線ベクトルということ。

よって、平面πはＡ（２，１、－１）を通り、法線ベクトルが（１．２、－１）となり、その方程式は
1・（ｘ－２）＋２（ｙ－１）＋（－１）（ｚ＋１）＝０
∴ｘ＋２ｙ－ｚ＝５...........(A)
Ω１＝Ω３＝０の時　Ω２＝1/a でOX→＝1OB/a よって、点Ｂ’（０、2/a,-3/a) は点Ｘの１つ。Ω１＝Ω２＝０の時、
Ω３=1/bで　ＯＸ→＝（1/b）ＯＣ→　よって点Ｃ’（1/b,3/b,1/b)も点Ｘの１つ。これらが（Ａ）上にあるので、
4/a + 3/a = 5 ∴ a=7/5 , 1/b + 6/b - 1/b =5
∴ b = 6/5

質問です！
この問題の解答を見ていて解らなかった部分があります。
まず、真ん中の方に、”ＯＸ→の長さの最小値とは、Ｏから平面πへの垂線の長さの事～”と書いてありますが、理由がわかりませんでした。まず、Ｘという場所が何処にあるのか、よくわかっていません。πの平面状にあって、点Ａも含まれると考えてますけど、あってますか？？

その後、”その最小値を与える点Ｄが直線ＯＧ上にあるとは
ＯＧが平面πの法線ベクトル～”って掛かれてますけど、
Ｏから平面πへ線を延ばして、これをなぜだか垂線と固定して考え、でこの距離がＯＸの最小値なんですよね。。
そしたらどうして、次にＯＧが平面πの法線ベクトルなのですか？？
ちょっと混乱しています>_<

２つ目は、Ｂ’（　　　）とＣ’（　　）の座標はどのような計算をすればえられたのでしょうか。。

あと、 ”4/a+3/a = 5～”このあたりの式からまったく解りませんでした。。。>_<

あと、この問題、Ω２＝Ω３＝０とか、Ω１＝Ω２＝０とおいてといてますけど、こういう事してもＯＫなんですか？？？とても都合よく、便利過ぎる計算方法に見えるのですが。。。文字を勝手に二つゼロとして、
残りの１つだけ残して解くというのは良いのですか？？
そうすると、ほとんどの文字が含んだ計算式、０に勝手にしてしまえば、簡単な気がしたのですけど。。それとも、これは正しい理にかなってるのですか？？

どなたか教えてください宜しくお願いします！！＞＿＜！！

dephands · Accepted Answer

No.1です。
他のやり方、というのは、No.5 mis_takeさんがあげているのとほとんど同じです。ベクトルという単元の中で考えると、はじめの解答より素直だと思いますし、似たような問題に慣れていれば、とっつきやすいと思いますよ。

mis_take · Answer

まず，問題の状況をしっかり把握することから始めましょう。
（→は省略します。）

> π：ＯＸ＝Ω1ＯＡ＋Ω2ＯＢ＋Ω3ＯＣ
> ただし、Ω１、Ω２、Ω３はΩ１＋aΩ２＋ｂΩ３＝１をみたす変数である。
OB=aOB' すなわち B'(2,2/a,-3/a)
OC=bOC' すなわち C'(1/b,3/b,1/b)
とおくと
π: OX=Ω1OA＋aΩ2OB'＋bΩ3OC'，Ω１＋aΩ２＋bΩ３=1
すなわち，πは平面AB'C'のことです。

> △ＡＢＣの重心をＧとするとき、直線ＯＧ上にＯＸの長さの最小値を与える点がある。
OG とπの交点をHとすると，OHがOXの最小値，すなわちOからπに下ろした垂線であるということです。
OG がπと垂直だということを言い換えると
OG⊥AB' かつ OG⊥AC'
すなわち
0=OG・AB'=1(0-2)+2(2/a-1)-1(-3/a+1)=-5+7/a ∴ 5=7/a ∴ a=7/5
0=OG・AC'=1(1/b-2)+2(3/b-1)-1(1/b+1)=-5+6/b ∴ 5=6/b ∴ b=6/5

この解答と，質問に書いてある解答と，式の現れる順番が違いますが,本質的には同じです。
意味がわからないまま,他人の証明を読んでも理解しにくいものです。
勝手に0においた訳ではなく，OGと垂直なベクトルとしてAB'，AC'を選んだのです。
平面AB'C'内のベクトルは，αAB'+βAC' と表されるので，AB'，AC'と垂直であることが必要十分条件で,これが最も計算が楽だからです。

killer_7 · Answer

1. 「OGが平面πの法線ベクトル」について

> まず、Ｘという場所が何処にあるのか、よくわかっていません。
> πの平面状にあって、点Ａも含まれると考えてますけど、あってますか？？

とありますが，点Xの全体が平面πである，と問題文で定義されています．
そもそも，
↑OX = Ω_1*↑OA + Ω_2*↑OB + Ω_3*↑OC（ただしΩ_1 + a*Ω_2 + b*Ω_3 = 1）　・・・　(1)
をみたす点Xの全体が平面をなすことが理解できていないようです．これは以下のようにして分かります．

解説にあわせて，
↑OB' = (1/a)*↑OB，↑OC' = (1/b)*↑OC
とすると，
↑OX = Ω_1*↑OA + (a*Ω_2)*↑OB' + (b*Ω_3)*↑OC'
であって，いま
Ω_1 + a*Ω_2 + b*Ω_3 = 1
だから，Xの全体は3点A, B', C'を通る平面をつくりますね
（一般に異なる3点P, Q, Rと，p+q+r=1をみたす実数p, q, rに対して，
↑OX = p*↑OP + q*↑OQ + r*↑OR
をみたす点Xの全体は，P, Q, Rを通る平面に一致する
）．

Xの全体がある平面πをなすことが確認できたから，
（|↑OX|の最小値） = （原点Oと平面πの距離） = （Oからπに下ろした垂線の長さ）
です．

さて，|↑OX|の最小値をあたえるXを特別に点Dと名づけると，
上に書いたように，Oからπに下ろした垂線がODだから，ODと平面πは垂直です．
点Dは直線OG上にあるから，
ODとπが垂直ならば，OGとπも垂直，すなわち↑OGは平面πの法線ベクトルです．

2. a, bを定める計算について
ここまでで，↑OG = (1, 2, -1)が平面πの法線ベクトルであることがわかりました．
また，はじめに書いたように平面πは点A(2, 1, -1)を通るから，
平面πの方程式は
x-2 + 2(y-1) - (z+1)=0，すなわち
x + 2y - z = 5　・・・　(2)
であることが分かりました．
問題で求められていることは，(1)を満たす点X(x, y, z)が満たす平面の方程式と，(2)の方程式とが一致するようにa, bを決めることです．
先に書いたように，(1)を満たす点として
↑OB' = (1/a)↑OB = (0, 2/a, -3/a)
を満たす点B'(0, 2/a, -3/a)があります．
したがって，
(1)を満たす点X(x, y, z)が満たす平面の方程式と，(2)の方程式とが一致するためには，このB'が，方程式(2)を満たすこと，すなわち，
(2)にx=0, y=2/a, z=-3/aを代入して成り立つことが「必要」です．
(2)にこれらを代入すると，a=7/5が得られるから，a=7/5が必要です．
同様に，C'(1/b, 3/b, 1/b)が(2)を満たすこと，すなわちb=6/5が必要です．

この条件「a=7/5, b=6/5」は，あくまでも必要条件に過ぎないので，
本来は十分性を確認せねばなりません．いま，逆にa=7/5, b=6/5として，
(1)をみたすX(x, y, z)の方程式がx+2y-z=5であることを確認しましょう．
(1)より，
(x, y, z)
 = Ω_1*(2, 1, -1) + Ω_2*(0, 2, -3) + Ω_3*(1, 3, 1)
 = (2Ω_1+Ω_3, Ω_1+2Ω_2+3Ω_3, -Ω_1-3Ω_2+Ω_3)
です．すると，
x+2y-z
 = 2Ω_1+Ω_3 + 2(Ω_1+2Ω_2+3Ω_3) -(-Ω_1-3Ω_2+Ω_3)
 = 5*Ω_1 + 7*Ω_2 + 6*Ω_3
であり，いまa=7/5, b=6/5，つまりΩ_1+(7/5)*Ω_2+(6/5)*Ω_3=1だから，
x+2y-z
 = 5*Ω_1 + 7*Ω_2 + 6*Ω_3
 = 5
となって，めでたく(2)に一致しました．
異なる3点を通る平面がただひとつだけ存在する，ということを認めれば十分性は明らかだから，確認しなくてもよいと言えばよいです．
「文字を勝手に2つゼロとして良いのか？」という質問に対しては，
「必要条件を求めるだけならば構わない」という回答をします．


もっとも，上でやっていることは，
直線y = ax+bが2点(1, 1)，(2, 3)を通るとき，a, bの値を求めよ，という問題で，(x, y)=(1, 1)と(x, y)=(2, 3)を代入してa, bの値を決めることと同じです．

dephands · Answer

No1です。すいません、例を間違えました。
点A(1,1,0)と、xy平面の間の最短距離が、Aからxy平面への垂線で与えられますよね。
は、間違いで、正しくは
点A(0,1,1)と、xy平面の間の最短距離が、Aからxy平面への垂線で与えられますよね。

(1,1,0)って、xy平面の中の点でした、、、失礼。

ついでに補足を。

＞そうすると、ほとんどの文字が含んだ計算式、０に勝手にしてしまえば、簡単な気がしたのですけど。。それとも、これは正しい理にかなってるのですか？？

「1・（ｘ－２）＋２（ｙ－１）＋（－１）（ｚ＋１）＝０」の式を、B'、C’の二点の座標が満たしているから使えるんですね。
たとえば、xy平面の中で、x+2y+3＝0という直線があったとき、点A(1,a)が直線状にある、というときは、x=1、y=aと値を代入して、aの値を求めますよね。この問題では、それと同じことをやっているわけです。

Kules · Answer

まず一つ目の疑問について。
空間だとわかりにくいですが平面だと簡単に示せます。
まず、円Oと直線ｍを円と直線が２点で交わるように描き、交点をA、Bとします。Oからｍに垂線を引き、その交点をHとします。
そうすると、どうみてもOA=OB＞OHになっていることがわかります。
この段階での円Oの半径をｒとすると「点から直線上の点までの距離で、ｒより小さいものがある」ことになりますね？今回の図で言えばH点以外にも無数にあります(円内の点ならすべてｒより小さいです。逆に、円外の点を選ぶとその点までの距離は絶対ｒより長いです)
ではこのｒをどんどん小さくしていくと、円と直線が接した時、上の話は言えなくなります。つまり、この段階での円の半径ｒ’とすると、「直線上の点で、接点以外はすべて円の外にある」⇒「接点と中心との距離が一番小さい」となります。
長文かつわかりにくいですね…自分で図を描いて確かめてください。
これを３次元に拡張した話です。
次に
＞その後、”その最小値を与える点Ｄが直線ＯＧ上にあるとはＯＧが平面πの法線ベクトル～”
ですが、
今の話でODとπが垂直であることはOKですね？DがOG上にある⇒O、D、Gは一直線上にある⇒OGもπに垂直⇒OGはπの法線ベクトル
ということです。
次
＞Ｂ’（　　　）とＣ’（　　）の座標はどのような計算をすればえられたのでしょうか
これは平面のベクトル方程式知らないとつらいですね…
OP＝sOA＋tOB＋uOC,s+t+u=1の時、PはABCで定まる平面上を動く、ということです。これを詳しくここに書くとほんとに長いので勘弁。教科書なりを読んでください。わからなかったら補足にその旨書いてください。
でaΩ2=Ω2'とかおいて(A)式のOB=Ω2'*(OB/a)とすれば上の私の書いた式のようにできます。あ～書きにくい！わかりにくかったら補足に書いて下さい。
次
4/a+3/a = 5～
これはごく普通の計算です。分母がaで共通なので普通に方程式解いてください。
最後
＞あと、この問題、Ω２＝Ω３＝０とか、Ω１＝Ω２＝０とおいてといてますけど、こういう事してもＯＫなんですか
OKです。平面上の具体的な点を知る時は変数に具体的な値を代入しますよね？
恒等式の代入法とかもそうですよね？「この式が常に成り立つなら○という値を入れても成り立つ必要がある」つまり必要条件です。
なので今回の解答でも十分性を示す必要があるような気がしますが…まあ自明としたんでしょう^^;
こんな感じですかね？長文な上わかりにくくて申し訳ない。判りにくかったらその旨お礼なり補足なりに書いてください。

dephands · Answer

自分なら解答と違うやり方の方がわかりやすいと思いますが、指導要領なんかもありますから、今はそうやるんですかね。

＞まず、真ん中の方に、”ＯＸ→の長さの最小値とは、Ｏから平面πへの垂線の長さの事～”と書いてありますが、理由がわかりませんでした。

これは、たとえば、点A(1,1,0)と、xy平面の間の最短距離が、Aからxy平面への垂線で与えられますよね。それと同じことですよ。点から平面へ直線を延ばして、その長さが最小になるのは、必ず垂線になるときです。もっと短くできませんよね？

＞まず、Ｘという場所が何処にあるのか、よくわかっていません。

Xは、この場合、平面πを作る点で、Xを全部集めると平面πになります。問題では、A、B'、C'がπに含まれることを使っています。

＞そしたらどうして、次にＯＧが平面πの法線ベクトルなのですか？？

これは問題に与えられた条件「△ＡＢＣの重心をＧとするとき、直線ＯＧ上にＯＸ→の長さの最小値を与える点があるという。」ですね。一つ目のこととあわせて、平面πと、直線OGの交点が、Oからπへ引いた直線の最小値で、それが垂線の足になっているんですね。

＞ ”4/a+3/a = 5～”
まず、
「1・（ｘ－２）＋２（ｙ－１）＋（－１）（ｚ＋１）＝０」
これが、平面π上の点のxyz座標の関係を表していることはわかりますか？平面π上にある点は、すべてこの関係を満たしています。ｚが加わっただけでxy平面の中の直線の式と似たようなもんですよ。
(上で述べた垂線という条件を使って、平面の中のベクトルは、垂線と必ず垂直になるので、垂線のベクトルと、平面の中のベクトルの内積が0になることを使って導きます)
で、この式の中に、平面πの中にある点B'、C'の座標を入れても成り立っていないといけないので、その座標を代入して、答えに到達しています。(Aの座標は、すでにこの式を求めているときに使っているので、使えませんよ)

ベクトルの問題です （早大－理工）>_<

No.1です。

まず，問題の状況をしっかり把握することから始めましょう。

1. 「OGが平面πの法線ベクトル」について

No1です。

この回答への補足

まず一つ目の疑問について。

この回答への補足

自分なら解答と違うやり方の方がわかりやすいと思いますが、指導要領なんかもありますから、今はそうやるんですかね。

この回答への補足

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