数学Ⅱ積分の問題です 0<m<aである定数m,aに対して、曲線y=|x^2-ax|と直線y=mxで囲

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質問者：きゅた
質問日時：2018/02/14 00:24
回答数：3件

数学Ⅱ積分の問題です
0<m<aである定数m,aに対して、曲線y=|x^2-ax|と直線y=mxで囲まれる図形をDとする。図形Dの直線y=mxより上の部分としたの部分の面積が等しいときmをaを用いて表せ

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No.4

回答者： majimelon37
回答日時：2018/02/15 13:33

図形Dは下図の色をつけた部分になる。

直線y=mxと放物線y=|x^2-ax|＝—x^2 + axとの交点P、およびy＝x^2 — axとの交点Qを求める。
mx＝—x^2+ax，x^2 +(m—a)x＝x(x+m—a)＝0より、Pのｘ座標ｐはｐ＝a—mとなる。
mx＝x^2—ax，x^2 —(m+a)x＝x(x—m—a)＝0より、Qのｘ座標ｑはｑ＝a+mとなる。
Dの直線y=mxより上の部分と下の部分の面積は、それぞれ、式(1) 式(2)となる。
∫(0→p)[—x^2 + ax—mx]dx
＝[—(x^3)/3 +(a—m)(x^2)/2] (0→p)
＝[—(p^3)/3 +(a—m)(p^2)/2] =(—1/3 +1/2)p^3=(1/6)p^3＿＿式(1)
∫(p→a)[ mx—(—x^2 + ax)]dx+∫(a→q)[ mx—(x^2 — ax)]dx
＝[m(x^2)/2+(x^3)/3—a(x^2)/2)](p→a)+ [m(x^2)/2—(x^3)/3+a(x^2)/2)]
＝[m(a^2)/2+(a^3)/3 +a(a^2)/2)]—[m(p ^2)/2+(p^3)/3+a(p^2)/2)]
+ [m(q ^2)/2—(q ^3)/3+a(q ^2)/2)]— [m(a ^2)/2—(a^3)/3+a(a ^2)/2)]
＝[m/2+5a/6]a^2—[m/2+p/3+a/2]p^2+ [m/2—q /3+a/2]q ^2—[m/2+a/6)] a ^2＿＿式(2)
式(1)= 式(2)とすると
(1/6)p^3＝[m/2+5a/6]a^2—[m/2+p/3+a/2]p^2+ [m/2—q /3+a/2]q ^2—[m/2+a/6)]a^2
m=taと置く。p＝a—m＝a—ta，p＝a+m＝a+ta
これを代入するとｔの方程式になる。
以下、時間不足のため、書ききれないが。