No.2ベストアンサー
- 回答日時:
被積分関数をステップ関数H(t)を使ってあらわすと、
f(t)=H(t-a)-H(t-b)
ただし、H(t)=0 (t≦0), 1(t>0)
となります。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B4% …
H(t-a)をラプラス変換すると、
[t=0→∞]∫H(t-a)exp(-st)dt
=[t'=-a→∞]∫H(t')exp{-s(t'+a)}dt' (t'=t-a)
=exp(-sa)・[t'=-a→∞]∫H(t')exp(-st')dt'
=exp(-sa)・{[t'=-a→0]∫H(t')exp(-st')dt'+[t'=0→∞]∫H(t')exp(-st')dt'}
=exp(-sa)・[t'=0→∞]∫H(t')exp(-st')dt' (∵H(t')=0 @ t'≦0)
=exp(-sa)・1/s (∵ステップ関数のラプラス変換は、1/s)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%97% …
同様に、H(t-b)のラプラス変換は、
exp(-sb)・1/s
となるので、与えられた関数のラプラス変換は、
exp(-sa)・1/s-exp(-sb)・1/s
={exp(-sa)-exp(-sb)}/s
となります。
なお、ラプラス変換は、微分方程式を解く際に利用できます。
また、制御系の解析を行うときよく使われます。
No.1
- 回答日時:
f(t) = H(t-a) - H(t-b)
と書けます。H(x)はヘピサイド関数です。
ラプラス変換の線形性、H(x)のラプラス変換が1/sになること、t軸でaだけ平行移動すると、e^(-as)がかかるってことを使えば、答えになります。
ラプラス変換によって、微分や積分などが、代数的な演算に変わるため、微分方程式なんかが簡単に解けるとか。
さらに、ラプラス変換は時間軸と周波数軸の変換にもなっているので、系の周波数応答が簡単にわかるとか。
ってことで、工学系(系の同定とか予測とか制御とか)では非常によく使います。
学校で今、ラプラス変換を習っているなら、来学期には、それを使う授業があるでしょう。
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