曲線と曲線の交点を通る曲線の求め方（曲線群）

皆様、こんにちは。

円A：f(x,y)と円B：g(x,y)の交点を通る円の方程式は全て
kf(x,y)+lg(x,y)=0の形で表せると習ったのですが、

これの応用で
円A：f(x,y)と円B：g(x,y)の交点を通る三次曲線は全て
(ax+b)f(x,y)+(cx+d)g(x,y)=0・・・・(1)
の形で表せるのでしょうか？

もし2円の交点を通る3次曲線が全て(1)で表せるのでしたら
その証明方法なども教えてください。

よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： kts2371148 回答日時： 2007/06/13 17:40

＃１さんがすでにご指摘の通り、

三次曲線をすべて (1) で表すことはできません。
そして、kf(x,y)+lg(x,y)=0 も、
二次曲線すべてではなく、円だけを表しているにすぎません。
でも、vigo24 さんの着眼点はなかなかおもしろいと思います。
これをヒントにして、次のように考えてみました。

f1(x,y) = x^2 + y^2 + l1 x + m1 y + n1
f2(x,y) = x^2 + y^2 + l2 x + m2 y + n2
とおきます。そして、f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 が
円であり、２点で交わるものとします。
（円でない場合もありますし、２点で交わらない場合もあります。
詳細は http://okwave.jp/qa3076718.html をご覧下さい。）

f3(x,y) = f1(x,y) - f2(x,y) = (l1-l2)x + (m1-m2)y + (n1-n2) とおきます。
すると、f1(x,y) = 0 かつ f2(x,y) = 0 ならば f3(x,y) = 0 が成り立ちます。
これを利用して、次のような方程式を考えてみます。
f4(x,y) = a f1(x,y) + b f2(x,y) + (cx+dy) f3(x,y) = 0

まず、f4(x,y) = 0 が二次以下の曲線になることはすぐにわかります。
そして、f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 の交点を (x1,y1) , (x2,y2) とすると、
f1(x1,y1) = 0 かつ f2(x1,y1) = 0 ですから、f3(x1,y1) = 0 となり、
f4(x1,y1) = a×0 + b×0 + (c x1 + d y1)×0 = 0 となります。
ですから、f4(x1,y1) = 0 , f4(x2,y2) = 0 となり、
曲線 f4(x,y) = 0 は f1(x,y) = 0 と f2(x,y) = 0 の交点を通ります。

さて、問題となるのが、f4(x,y) = 0 が２点を通る二次以下の曲線を
すべて網羅しているかどうか、ということです。
このことについて厳密な証明はしていませんが、
二次以下の曲線は ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0 で表せます。
つまり、パラメータは６個（０でない係数で割れば５個）必要です。
そして、曲線 f4(x,y) = 0 のパラメータは、a,b,c,d と交点２個で、
やはり６個（０でない係数で割れば５個）あることになります。
ですから、f4(x,y) = 0 の形で、
２点を通る二次以下の曲線をすべて表せているものと思われます。

ここからいろいろ発展させることができると思います。
例えば、円と円の交点ではなく、二次曲線と二次曲線の交点で、
交点が４個あるとすれば、k1 f1(x,y) + k2 f2(x,y) = 0 の形で
交点を通る二次曲線を表せるかもしれません。
vigo24 さんのもともとの質問である、円と円の交点を通る三次曲線も、
(a1 x + a2 y + a3) f1(x,y) + (b1 x + b2 y + b3) f2(x,y)
+ (c1 x^2 + c2 xy + c3 y^2) f3(x,y) = 0
の形で表すことが可能ではないかと思われます。
（上記の形ではパラメータが１つ多すぎるので、
不要なパラメータが含まれていると思います。）

この回答へのお礼

御礼が遅れてしまってすみません。
ご回答どうもありがとうございます。

>f3(x,y) = f1(x,y) - f2(x,y) = (l1-l2)x + (m1-m2)y + (n1-n2) とおきます。
>f4(x,y) = a f1(x,y) + b f2(x,y) + (cx+dy) f3(x,y) = 0

この方程式の置き方はすごいですね。

>vigo24 さんのもともとの質問である、円と円の交点を通る三次曲線も、
>(a1 x + a2 y + a3) f1(x,y) + (b1 x + b2 y + b3) f2(x,y)
+ (c1 x^2 + c2 xy + c3 y^2) f3(x,y) = 0
>の形で表すことが可能ではないかと思われます。

なるほどです！
自分の疑問が氷解されると同時にまた新たな疑問がわいてきました・・・。
まだちょっと完全には理解できてないのですが、kts2371148さんのお陰で考える方向性が見えてきました。

今週末、この回答を読み直しましてじっくりまた考え直して自分の疑問点を整理してみます。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/06/15 21:43

No.2 回答者： kkkk2222 回答日時： 2007/06/12 13:48

＞＞三次曲線。

二次曲線ならば名称のついたものが３種類とわかるのですが、
三次以上となると、極形式（極方程式）で表現される曲線の中で、ＳＩＮ・ＣＯＳが消去されたのが幾つかあったような。レムニスケートは四次のようです。
閑話休題。

＞＞円A：f(x,y)と円B：g(x,y)の交点を通る円。
＞＞kf(x,y)+lg(x,y)=0
この話と円以外の曲線の話は直接の関係はないと思うのですが。
f(x,y)=0、g(x,y)=0を他の曲線に置きなおしたとしても、両曲線以外とは、やはり関連がないと。

＞＞kf(x,y)+lg(x,y)=0の形で表せる。
此の理由はふたつあって、
ひとつは此の式をk、l　につての恒等式と見て、f(x,y)=0、g(x,y)=0となり、交点を通る。
もうひとつは、k、l　を定数と見て変形させると円の方程式となる。

話としては此れで完結していて、
k、l　を　x,y　の関数に置き換えた、(ax+b)f(x,y)+(cx+d)g(x,y)=0　が何を表現しているかも判らないのです。

元の話では、k、l　を　x,y　の関数と見ることができない。
k、l　が　x,y　の関数ならば、恒等式と見る事が出来ない。
となると、(ax+b)f(x,y)+(cx+d)g(x,y)=0　が交点を通ることも怪しい事になります。

逆に書くならば、
交点を通る。
→f(x,y)=0、g(x,y)=0
→２交点の座標Ａ（ｘ１、ｙ１）、Ｂ（ｘ２、ｙ２）
→(a＊ｘ１+b)f(x,y)+(c＊ｘ１+d)g(x,y)=0
→Ｋ＊f(x,y)＋Ｌ＊g(x,y)＝０
と話は元に戻ってしまいます。
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この回答へのお礼

御礼が遅れてしまってすみません。
ご回答どうもありがとうございます。

>(ax+b)f(x,y)+(cx+d)g(x,y)=0　が交点を通ることも怪しい事になります。

ここら辺がちょっとよくわからないのですが・・・。

私の問題としてもだいぶおかしかったと気付きました。
no.3の方も指摘されてる通り

>(a1 x + a2 y + a3) f1(x,y) + (b1 x + b2 y + b3) f2(x,y)
+ (c1 x^2 + c2 xy + c3 y^2) f3(x,y) = 0

のように表すべきだったようです。
ちょっと頓珍漢な質問になってしまってすみませんでした。

お礼日時：2007/06/15 21:36

No.1 回答者： Quattro99 回答日時： 2007/06/12 09:28

出来ないように思います。

3次曲線はAx^3+Bx^2y+Cxy^2+Dy^3+Ex^2+Fxy+Gy^2+Hx+Iy+J=0で、0でない係数で両辺を割ったとしても係数に文字が9個ありますから、曲線を確定させるには9つの点が必要です。
ご質問の(1)式には文字が4つしかなく、円の交点2つとそれ以外に4点あれば確定してしまいます。従って、3次曲線のうち特定のものしか表せていないのだろうと思います。

円の方程式のところのkf(x,y)+lg(x,y)=0はkとlのうち0でない方で両辺を割れば（両方0では方程式にならない）文字は1つということになり、2円の交点とそれ以外に1点があれば確定します。しかし、これは求める曲線が2次曲線のうちの円であるという限定条件があるから計3点あれば確定するのであって、2円の交点を通るすべての2次曲線を表せてはいないのはもちろんです。

この回答へのお礼

御礼が遅れてしまってすみません。
ご回答どうもありがとうございます。

>3次曲線はAx^3+Bx^2y+Cxy^2+Dy^3+Ex^2+Fxy+Gy^2+Hx+Iy+J=0で、0でな>い係数で両辺を割ったとしても係数に文字が9個ありますから、曲線を>確定させるには9つの点が必要です。

そうですね。とても分かりやすいです。
3次曲線を一般的な式に表したときに変数が9個あるわけですから
（交点2点を代入しても残り7個）
交点を通る3次曲線を全て網羅できてるはずないですよね。

２次から３次に１次増えただけでも変数が9個になってしまい、格段に複雑になってしまうのですね。

どうもありがとうございました。

お礼日時：2007/06/15 21:26