No.1ベストアンサー
- 回答日時:
凸関数には、そのままtanを使えばよいと思います。
以下に示しますので、参考にしてください。
(方針1) tan(A)tan(B)tan(C)=tan(A)+tan(B)+tan(C) であることを示す。
(方針2) 凸関数の性質から、tan(A)+tan(B)+tan(C)≧3√3 であることを示す。
(方針1の証明)
tan(A)tan(B)tan(C)
=tan(A)tan(B)tan(π-A-B) (∵∠A,∠B,∠Cは△ABCの内角。ie.A+B+C=π)
=-tan(A)tan(B)tan(A+B)
=-tan(A)tan(B)×{tan(A)+tan(B)}/{1-tan(A)tan(B)} (加法定理より)
={tan(A)+tan(B)}×{-tan(A)tan(B)}/{1-tan(A)tan(B)}
={tan(A)+tan(B)}×[1-1/{1-tan(A)tan(B)}]
={tan(A)+tan(B)}-{tan(A)+tan(B)}/{1-tan(A)tan(B)}
={tan(A)+tan(B)}-tan(A+B)
=tan(A)+tan(B)+tan(π-A-B)
=tan(A)+tan(B)+tan(C)
∴tan(A)tan(B)tan(C)=tan(A)+tan(B)+tan(C) ・・・・(A)
(方針2の証明)
関数tan(x)の2階微分は 2sin(x)/{cos(x)}^3 であるので、0<x<π/2 の範囲で常に正。
従って、0<x<π/2 の範囲で、関数tan(x)は凸関数である。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%87%B8%E9%96%A2% …
凸関数の性質から、0<A,B,C<π/2 の範囲で、次の関係が導き出せる。
tan(A)+tan(B)+tan(C)
≧3×tan{(A+B+C)/3}
=3×tan{π/3} (∵A+B+C=π)
=3√3 ・・・・・・・・(B)
以上の証明より、(A)と(B)から、
tan(A)tan(B)tan(C) ≧ 3√3
といえる。
なお、凸性については、次のサイトで詳しく述べられているので、よかったら参考にしてみてください。
http://homepage3.nifty.com/sugaku/totutan.htm
ご回答、感謝いたします。
y=logtan(x)
が凸関数だとしたら、
(1/3){logtan(A)+logtan(B)+logtan(C)}≧logtan(A+B+C)/3
より
tan(A)tan(B)tan(c)≧3√3
が証明できると思ったのですが、
y'=1/tan(x)cos^2(x)=2/sin(2x)
y''=-4cos(2x)/sin^2(2x)
となり、上に凸であることが0≦x≦π/4に限られるので、
うまくいかずなやんでいました。
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