三角関数教えてください！

tan^2θ-sin^2θ=tan^2θsin^2θ
sin^4θ-cos^4θ=2sin^2θ-1

上の二つの式を三角関数の相互関係を用いて証明しろという問題です
分かるかた教えてください><

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2022/05/06 21:00

いずれも基本公式

　sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
を使います。

上の式は、左辺の第2項を右辺に移項したものは
　tan^2(θ)*sin^2(θ) + sin^2(θ)　　　　①
= sin^2(θ)*[tan^2(θ) + 1]　　　　　　②
になる。
　tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)
だから、[ ] の中は、通分すれば
　tan^2(θ) + 1 = [sin^2(θ) + cos^2(θ)]/cos^2(θ)
　　　　　　　　= 1/cos^2(θ)
になる。
従って、②は
② = sin^2(θ)/cos^2(θ) = tan^2(θ)

よって、①は
　tan^2(θ)*sin^2(θ) + sin^2(θ) = tan^2(θ)
移項すれば
　tan^2(θ) - sin^2(θ) = tan^2(θ)*sin^2(θ)


下の式は A^2 - B^2 = (A + B)(A - B) の公式を使って
　sin^4(θ) - cos^4(θ) = [sin^2(θ)]^2 - [cos^2(θ)]^2
= [sin^2(θ) + cos^2(θ)][sin^2(θ) - cos^2(θ)]　　←sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1 を使う
= sin^2(θ) - cos^2(θ)　　　　③

ここに
　sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
より
　cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ)
を代入すれば
③ = sin^2(θ) - [1 - sin^2(θ)]
　= 2sin^2(θ) - 1

この回答へのお礼

丁寧な解説ありがとうございました

お礼日時：2022/05/06 21:47

No.2 回答者： kairou 回答日時： 2022/05/06 20:59

tan²θ=sin²θ/cos²θ 、sin²θ+cos²θ=1 。

・tan²θ-sin²θ=(sin²θ/cos²θ)-sin²θ
=(sin²θ-sin²θcos²θ)/cos²θ=(sin²θ/cos²θ)(1-cos²θ)
=tan²θsin²θ 。
下の式も a⁴-b⁴=(a²+b²)(a²-b²) を使えば 直ぐ出来ますよね。

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2022/05/06 21:47

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/05/06 20:23

いづれも

サインθ二乗+コサインθ二乗＝1
を利用するのが肝だから
考えてみて

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2022/05/06 21:47