3点が一直線上にある条件を考えています。
平面上にある3点
X(x[1],x[2]),Y(y[1],y[2]),Z(z[1],z[2])
が一直線上にある条件を「行列式」を用いて表すとどうなるのでしょうか?
3次元空間ににある3点
X(x[1],x[2],x[3]),Y(y[1],y[2],y[3]),Z(z[1],z[2],z[3])
が一直線上にある条件を「行列式」を用いて表すとどうなるのでしょうか?
4次元空間ににある3点
X(x[1],x[2],x[3],x[4]),Y(y[1],y[2],y[3],y[4]),Z(z[1],z[2],z[3],z[4])
が一直線上にある条件を「行列式」を用いて表すとどうなるのでしょうか?
ベクトルを使って、XY=kXZと表されることは知っています。そのkを消去した条件式を知りたいと思います。よろしくお願いします。
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
#2です。
お礼を拝見しました。
2次元空間のところで些細な誤記がありますが、
それ以外は全く問題ありません。
たしかに、そのように変形するときれいな式になりますね。
そして、3次元空間の最後の条件の4つの式のうち、
>> |x[1] x[2] x[3]|
>> |y[1] y[2] y[3]|
>> |z[1] z[2] z[3]|=0
はなくてもOKです。残り3つの式で、
|y[1]-x[1] y[2]-x[2]|
|z[1]-x[1] z[2]-x[2]|=0
かつ
|y[1]-x[1] y[3]-x[3]|
|z[1]-x[1] z[3]-x[3]|=0
かつ
|y[2]-x[2] y[3]-x[3]|
|z[2]-x[2] z[3]-x[3]|=0
となりますから、私の回答の
どのような i≠j を選んでも、
| (x[2,i] - x[1,i]) (x[2,i] - x[1,i]) |
| (x[2,j] - x[1,j]) (x[3,j] - x[1,j]) |
が成り立つことである
に当てはまり、それ以上条件を付け加えなくても一直線上にあります。
また、幾何学的にいえば、3つの式によって表されているのは、
前後上下左右のどれから見ても
(x軸方向,y軸方向,z軸方向 のどれから見ても)
一直線上に見える、ということになります。
No.3
- 回答日時:
>2次元空間にある3点
>X(x[1],x[2]),Y(y[1],y[2]),Z(z[1],z[2]) が一直線上
>⇔
>|y[1]-x[1] y[2]-x[2]|
>|z[1]-x[1] y[2]-x[2]|=0
これです。行列式の変形は考えませんでした。
3次元空間にある3点
X(x[1],x[2],x[3]),Y(y[1],y[2],y[3]),Z(z[1],z[2],z[3])
が一直線上
⇔
|y[1]-x[1] y[2]-x[2] y[3]-x[3]|
|z[1]-x[1] z[2]-x[2] z[3]-x[3]|
| 0 0 1 |
もっと次元が増えたら、1 のところを単位行列にふくらませていくつもり.....、というという安直な発想です。
ちゃんと吟味しておらず、行列式の変形も考えてませんでした。
No.2
- 回答日時:
一直線上にある条件を表すのに、行列式はあまり向かないと思います。
以下、点を列ベクトル x↑ で表します。
似た問題ですが、
2次元空間にある3点 x1↑,x2↑,x3↑ が同一直線上にある条件は
| (x2↑ - x1↑) (x3↑ - x1↑) | = 0
3次元空間にある4点 x1↑,x2↑,x3↑,x4↑ が同一平面上にある条件は
| (x2↑ - x1↑) (x3↑ - x1↑) (x4↑ - x1↑) | = 0
4次元空間にある5点 x1↑,x2↑,x3↑,x4↑,x5↑ が同一3次元体上にある条件は
| (x2↑ - x1↑) (x3↑ - x2↑) (x4↑ - x1↑) (x5↑ - x1↑) | = 0
ということはいえます。
(3次元体という言葉はあまり適切ではないかもしれません。)
何次元空間でも「同一直線上」という条件にしたいのであれば、
2次元空間にある3点 x1↑,x2↑,x3↑ が同一直線上にある条件は
| (x2↑ - x1↑) (x3↑ - x1↑) | = 0
3次元空間にある3点 x1↑,x2↑,x3↑ が同一直線上にある条件は、
どのようなベクトル x4↑ を選んでも
| (x2↑ - x1↑) (x3↑ - x1↑) (x4↑ - x1↑) | = 0
が成り立つことである
4次元空間にある3点 x1↑,x2↑,x3↑ が同一直線上にある条件は、
どのようなベクトル x4↑,x5↑ を選んでも
| (x2↑ - x1↑) (x3↑ - x2↑) (x4↑ - x1↑) (x5↑ - x1↑) | = 0
が成り立つことである
という方法があります。
あるいは、
n次元空間にある3点 x1↑,x2↑,x3↑ が同一直線上にある条件は、
どのような i≠j を選んでも、
| (x[2,i] - x[1,i]) (x[2,i] - x[1,i]) |
| (x[2,j] - x[1,j]) (x[3,j] - x[1,j]) |
が成り立つことである
という表現もできます。
n次正方行列の行列式で表す方法もあるかもしれませんが、
上の条件と本質的には同じものになりそうです。
ありがとうございます。
2次元空間にある3点
X(x[1],x[2]),Y(y[1],y[2]),Z(z[1],z[2])
が一直線上
⇔
|y[1]-x[1] y[2]-x[2]|
|z[1]-x[1] y[2]-x[2]|=0
⇔
|x[1] x[2] 1|
|y[1] y[2] 1|=0
|z[1] z[2] 1|
3次元空間にある3点
X(x[1],x[2],x[3]),Y(y[1],y[2],y[3]),Z(z[1],z[2],z[3])
が一直線上
⇔
任意のW(w[1],w[2],w[3])に対して、
|x[1] x[2] x[3] 1|
|y[1] y[2] y[3] 1|
|z[1] z[2] z[3] 1|=0
|w[1] w[2] w[3] 1|
⇔
|x[1] x[2] x[3]|
|y[1] y[2] y[3]|
|z[1] z[2] z[3]|=0
かつ
|x[1] x[2] 1|
|y[1] y[2] 1|
|z[1] z[2] 1|=0
かつ
|x[1] x[3] 1|
|y[1] y[3] 1|
|z[1] z[3] 1|=0
かつ
|x[2] x[3] 1|
|y[2] y[3] 1|
|z[2] z[3] 1|=0
というようでよろしいでしょうか。。
No.1
- 回答日時:
>平面上にある3点 X(x[1],x[2]),Y(y[1],y[2]),Z(z[1],z[2]) が一直線上にある条件を「行列式」を用いて表すとどうなるのでしょうか?
素描だけ。
二組の点差、たとえば X-Y, X-Z の座標成分から成る(2行2列)行列式 = 0 など。
行列サイズは、X などの次元に合わせる。
(未検証の conjecture ですが) 行列のあまったスペースには単位行列を埋め込んでおく。
チョイト乱暴ですかね。
ありがとうございます。
2次元空間にある3点
X(x[1],x[2]),Y(y[1],y[2]),Z(z[1],z[2])
が一直線上
⇔
|y[1]-x[1] y[2]-x[2]|
|z[1]-x[1] y[2]-x[2]|=0
⇔
|x[1] x[2] 1|
|y[1] y[2] 1|=0
|z[1] z[2] 1|
3次元空間にある3点
X(x[1],x[2],x[3]),Y(y[1],y[2],y[3]),Z(z[1],z[2],z[3])
が一直線上
⇔
任意のW(w[1],w[2],w[3])に対して、
|x[1] x[2] x[3] 1|
|y[1] y[2] y[3] 1|
|z[1] z[2] z[3] 1|=0
|w[1] w[2] w[3] 1|
⇔
|x[1] x[2] x[3]|
|y[1] y[2] y[3]|
|z[1] z[2] z[3]|=0
かつ
|x[1] x[2] 1|
|y[1] y[2] 1|
|z[1] z[2] 1|=0
かつ
|x[1] x[3] 1|
|y[1] y[3] 1|
|z[1] z[3] 1|=0
かつ
|x[2] x[3] 1|
|y[2] y[3] 1|
|z[2] z[3] 1|=0
というようでよろしいでしょうか。。
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