群の概念

群の概念を具体例をあげて解説してください

No.1 回答者： masae1979 回答日時： 2002/07/20 16:23

大学で数学を少しやりました。

いま教科書を見直しましたが、自信はありません・・。
ちなみに「代数学のすすめ」大石彰著
「代数入門」堀田良之著
を見てわたしなりに説明してみますね。


ある写像ｆを考えます。
（写像が難しければ「関数」だと思ってください。）
集合Ｇのある元ｘ、ｙについて、組（ｘ、ｙ）を考えたとき、
ｆ（ｘ、ｙ）もＧに含まれるとします。
　↑集合の中の一つに対して、演算結果ももとの集合に含まれるよ、ってことです。

その集合Ｇについて、

(1)結合法則（ｘｙ）ｚ＝ｘ（ｙｚ）　←演算はどこから始めても計算結果は同じ

(2)ある元ｅに対して、ｅｘ＝ｘｅ＝ｘ（ｘはＧの元）となるようなｅが存在する。
　　↑実数の集合だと、１です
　　　どんなものにどの方向からかけても変わらないのがｅです。
　　　たとえば行列などだと、後ろからかけるのと前からかけるので
　　　計算結果が違うものがありますね。

(3)各元ｘに対して、　　
　ｘｙ＝ｙｘ＝ｅとなるような逆元ｙが、全てのｘに対して存在する。
　　↑実数の集合だとｅは１だったので、
　　　たとえばｘ＝３に対してｙ＝１／３という逆元が存在します。
　　　ただ、ｘ＝０だと逆元が存在しません。０分の１という数字はないからです。
　　　どの元ｘに対しても、かければ単位元ｅになるものが存在する、ということです。

この３つがなりたつとき、集合Ｇを群といいます。

No.2 回答者： awazo 回答日時： 2002/07/21 11:03

こういう問題は、こういう場で質問することではありません。

ma-123さんは、どなたかから課題を出されたのだと思いますが、ここで答えてもらったことをそのまま、あるいは多少修飾してレポートしても、何の役にも立ちません。
まず、国語辞典、数学辞典、百科事典などから言葉の意味をつかんで、そこから具体例を見つけていくなど、もう少し自分で考え、苦心することをいとわないようにしてください。そうしないと、こういうやり方では、いつまでたっても考える力はつきません。ITを活用したことにも、もちろんなりません。
困るのは、そうして社会へ出たとき、大きな問題に突き当たっても自分で考える習慣がないと、すべて人に頼り、人のせいにする、どこかのお役人と同じになってしまうということです。
ちょっと違うやり方で頑張ってください。