線形代数＞線形変換＞表現行列

【問題】
　次のＲ^3→Ｒ^3の写像が線形変換かどうか調べよ。もし線形変換ならば、その表現行列も示せ。

　　x　　　　　　　x+y+z　
（　y　）　｜→　（　0　）
　　z　　　　　　　xyz　

/*　-----------------------------------------------------------------------　*/

と言う問題です。
解答例として以下のように挙げられているのですが、解らない部分があります。

/*　-----------------------------------------------------------------------　*/

【解答例】

　　x　　　　　　x+y+z　
f（　y　）　=　（　　0　　）　　とおく。
　　z　　　　　　　xyz　　

　　　0　　　　　　1　　　　　　　　1　　　　　　1+2+1　　　　　4
f（（　1　）　+　（　1　））　=　f（　2　）　=　（　　0　　）　=　（　0　）
　　　1　　　　　　0　　　　　　　　1　　　　　　1*2*1　　　　　2

　　0　　　　　　　1　　　　　　0+1+1　　　　　1+1+0　　　　　4
f（　1　）　+　f（　1　）　=　（　　0　　）　+　（　　0　　）　=　（　0　）
　　1　　　　　　　0　　　　　　0*1*1　　　　　1*1*0　　　　　0

なので、

　　　0　　　　　　1　　　　　　　　0　　　　　　　1
f（（　1　）　+　（　1　））　≠　f（　1　）　+　f（　1　）
　　　1　　　　　　0　　　　　　　　1　　　　　　　0

よって写像の線形性を満たさないので線形変換ではない。・・・（答）

/*　-----------------------------------------------------------------------　*/

上記解答例の

　　0　　　　　　　　　1
（　1　）　および　（　1　）　はどこからくるのですか？
　　1　　　　　　　　　0

あとの部分は解ります。宜しくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/07/25 18:22

神様が与えてくれたんです.

というのは冗談ですが, この変換が「線形変換じゃない」と見たうえで, 「線形変換じゃない」ことを示すために適切と思われるものを任意に選んだだけです. 「それ以外はダメ」というものではありません.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

いわゆる背理法のようなものですね。
参考になりました。

お礼日時：2007/07/25 18:49

No.2 回答者： noname#101087 回答日時： 2007/07/25 19:54

u =(x　y　z)^t

v = (x+y+z　0　xyz)^t
(　)^t は行列転置を示す。

表現行列 F の 1, 2 行目はすぐわかります。
3 行目が怪しいですね。

　f(u) = v

　|1　1　1|
　|0　0　0| = F
　|?　 !　#|

3 行目は、
　?*x + !*y + #*z = xyz
右辺については、{x,y,z} のうちのどれか一つ(例えば z)が零だと、結果(xyz)は零。
左辺は、たとえ z が零でも (?*x + !*y) が零でなければ、全体(?*x + !*y + #*z) は非零。
これは明らかに非線形。

【解答例】は一例を示すことにより、
　f(u1+u2) ≠ f(u1)+f(u2)
を証明してるわけです。

この回答へのお礼

別解の方ありがとうございました。

お礼日時：2007/07/26 20:13