重責分

学校で出された問題で
∬dxdy ただし｛(x,y)|(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)≦1｝ を計算せよ
というのがありました。a,bについては何も書かれてなかったのでたぶんただの楕円でいいと思います。
自分でやったところ答えが０になったんですが合ってますでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： ka1234 回答日時： 2007/10/19 18:39

こんにちは。

二重積分のモデルは体積（ただし符号付き）です。本問の場合、
一般の二重積分、V＝∬f(x,y)dxdy において、f(x,y)=1 ですから、
領域D上で積分すると、V＝[領域の面積]×1となりますので、
値が０または負になることはありません。

領域D＝{x,y)|(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)≦1}とすると、
Dは楕円の内部になりますので、面積はS=πab
従って、V＝πab×1＝πab（答え）となります。

No.4 回答者： info22 回答日時： 2007/10/19 02:58

楕円の面積：∬[D] dxdy=abπ　，D=(x,y)|(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)≦1｝

ですよ。
＞答えが０になったんですが合ってますでしょうか？
ゼロになるはずかありません。
x=ar*cosθ,y=br*sinθ(ただし，a≧b>0),C={(r,θ)|1≧r≧0,0≦θ≦2π}と変数変換してやると
dxdy=|(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂x/∂θ)(∂y/∂r)|drdθ=abr drdθ

∬[D] dxdy=∬[C]abr drdθ=ab∫[0,2π] dθ∫[0,1] rdr
=ab2π*[(1/2)r^2] [r=0,1]=abπ　

No.3 回答者： fuuraibou0 回答日時： 2007/10/19 02:33

楕円の面積 Ａ を重積分で求める場合は、第１象限の面積を４倍すればよいから、

　　　 　ａ 　ｙ　 　　　　 ａ　　　　
Ａ＝４∫(∫dy)dx＝４∫ｙ*dx
　　　　0 　0 　 　　　　0
　 　　　　ａ　　　　　　　　　
＝４ｂ/ａ∫√(ａ^2－ｘ^2)*dx
　　 　　 0 　　　　　　　　
ｘ＝ａ*sinθ　とおくと、dx＝ａ*cosθ*dθ
　　　　　 π/4
Ａ＝４ａｂ∫cos^2θ*dθ＝πａｂです。
　　　　　0

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2007/10/19 00:45

あの....

∬dxdy って, 要するに「積分領域の面積」なんだけど....

No.1 回答者： velvet-rope 回答日時： 2007/10/19 00:44

件名が「重責分」ってなってますが、「重積分」ですね。

重積分の値は「ただの楕円」の面積だから、0ってことはないでしょう。
(楕円の面積はすぐにわかりますね)
どんな計算をしたのかを書いてください。