パラメータ表示をつかった積分について質問です（高校数学の範囲）

Question

わからないところがあったので、
わかる人教えてください

x=sin2t
y=sin3t
(0≦t≦π/3)
が定める曲線とx軸がつくる面積を求めよという問題で
（図は画像に添付してあるものです）
赤くしてる部分の面積を求めるのですが

解説を見ると、
最初はy=sin3tをdxで積分している式のdxをdtに変換し
（↑x=sin2tを微分したものを使う）
tで積分していました
私は最初からdxをまったく使わずにdtで積分してしまったので答えが完全に違っていました


解答の言っている事が正しいのはわかるのですが、
私の考えのどこが間違っているのか教えてください


-私の考え-

1、OからAまでのyの値を足し
2、AからBまでのyの値を引けば良いのではないか
3、その時々のyの値はtで決まるのだからxの範囲とtの範囲が同じであれば最初からtで積分しても問題ないのではないか？です

R_Earl · Accepted Answer

ANo.1です。

<最初に>
厳密に言うと、xとt, yは1対1対応ではないです。
ただ今回の話の中では、その厳密さはあまり関係ないので、
「xとt, yは1対1対応」という前提で話を進めます。

> OからAまでの面積を求めるには
> yをxであらわした関数を（0≦x≦1）の範囲でxで積分するのはわかるのですが
> yを最初からtであらわした関数を（0≦t≦π/3）の範囲でtで積分するのが間違いな理由がわからないんです

曲線
x=sin2t
y=sin3t
を仮に曲線Cと名付けます。
質問文で問われているのは、

曲線Cとx軸が「xy平面上で」作る領域の面積を求めよ。

ということですよね。

対して∫sin3tdtで求められるのは、
y = sin3tとt軸が「ty平面上で」作る領域の面積です。

「曲線Cとx軸がxy平面上で作る領域」の面積を答えてほしいのに、
「曲線y = sin3tとt軸がty平面上で作る領域」の面積を答えてしまうのはまずいですよね。

次に、「曲線Cとx軸がxy平面上で作る領域の面積」と
「曲線y = sin3tとt軸がty平面上で作る領域の面積」が異なる理由についてです。

> (0≦x≦1)の範囲の中のxには1対1で対応するtとyの値が存在するのではないのでしょうか？

1対1対応するからといって、面積(定積分値)が一致するとは限らないんです。

例を挙げます。
半径1の円x^2 + y^2 = 1と、その円を2倍に拡大した半径2の円x^2 + y^2 = 4を考えます。
半径1の円の内部点と、半径2の円の内部点は1対1対応です(後で例を挙げます)。
でも面積は半径2の円の方が大きいですよね。

2つの円は1対1対応するのに、面積は異なります。
これと全く同じことが今回の問題でも言えます。
つまり、仮にxとtが1対1対応したとしても、
面積が同じだという保証は全くないんです。

<半径1の円の内部点と、半径2の円の内部点の1対1対応>
半径1の円の内部点の座標を(s, t)、
半径2の円の内部点の座標を(u, v)とおきます。
この時、(u, v) = (2s, 2t)と1対1対応することができます。

この対応方法を用いると、
半径1の円の内部点(0.5, 0.2)は
半径2の円の内部点の座標(1, 0.4)と対応します。

<それでも納得できない場合のために>
厄介な曲線を使っているので理解が難しいと思います。
そんな時は簡単なものを使って確かめるのが一番だと思います。
そういうわけで、割と簡単な例を作ってみました。

y = 4x^2　(0 ≦ x ≦ 5),
t = 2xとおいて(つまりy = t^2, 0 ≦ t ≦ 10)、
∫[0 → 5]ydx = ∫[0 → 5]4x^2dxと
∫[0 → 10]ydt = ∫[0 → 10]t^2dxを比較して下さい。
その際∫[0 → 5]4x^2dxや∫[0 → 10]t^2dxが
どんな図形の面積を求めているのかを考え、
正確にグラフを描いて検証してみると、理解しやすくなると思います。

naniwacchi · Answer

#2です。

正確ではないですが、イメージとして積分の式をいじってみると

∫ydx
=∫[0→1] ydx － ∫[√3/2→1] ydx
=∫[0→1] ydx ＋ ∫[1→√3/2] ydx

xの値は 0→1まで増加し、1→√3/2の間は減少します。
和の形になっているので、積分区間をつなげると 0→√3/2となっています。
xの値が「増えて」「減って」という「変化量の変化」を、
dx= d(sin(2t))= 2* cos(2t) dtの部分が担っていることになります。
（xを sin(2t)で置き換えたということを表しています）

実際、増減の様子をみると、
0≦ 2t≦ π/2の間（0≦x≦1）では、dx＞0
π/2≦ 2t≦ 2π/3の間（1≧x≧√3/2）では、dx＜0
となっています。

単に dtで積分をしてしまうと、このような変化はない変数で積分していることになってしまいます。
#1さんが書かれているとおり、xy座標ではなく、ty座標での積分ということになります。
さらに、tの値に応じて xの増加・減少する変化量も変わっていきます。
その変化量も 2* cos(2t) dtが担っています。（先の #2での内容）

数学専門の方が書かれると、すっきりした回答をいただけるかもしれません。
（逆に、用語が難しくなってしまうかもしれませんが）

高校数学の範囲では、「積分の計算をするのに、置換積分と考えなさい」という方針になっているようです。

naniwacchi · Answer

#1さんの説明はシンプルでわかりやすいですね。
あくまでも、面積は∫ydxですね。
よろしければ、実際に計算された経緯も示してもらえると指摘もしやすいかと。

＞その時々のyの値はtで決まるのだからxの範囲とtの範囲が同じであれば最初からtで積分しても問題ないのではないか？
被積分関数 ydxだけを抜き出して考えてみます。
これは（yの値）×（xの変化量）という形をしています。
この（xの変化量）ですが、一定の割合にはなりません。
というのは、dx= 2* cos(2t)dtと tの値によって変化量も変わっていきます。

もしこの関係が dx= dtであれば、そのまま置き換えても問題ないでしょう。
（というよりも、そのときは x=tになりますね。）

さらに例として dx= 2dtという関係の場合を考えると、
xの変化量は tの変化量の2倍になっているというように見ることができます。

置換積分の考え方にもつながるのですが、
変数変換をするとその変化量も変換しないといけないことになります。

少し表現が難しいかもしれません。
わかりにくければ、また補足してください。

R_Earl · Answer

∫ydx（つまりxで積分したもの）が「xy平面上の面積」を示すなら、
∫ydt（つまりtで積分したもの）は「ty平面上の面積」ですよね。
両者ははたして同じ面積だと言えるでしょうか。

> 3、その時々のyの値はtで決まるのだからxの範囲とtの範囲が同じであれば最初からtで積分しても問題ないのではないか？です

xの範囲とtの範囲は違いますよ。
xの範囲は0≦x≦ 1, tの範囲は0≦t≦π/3です。

パラメータ表示をつかった積分について質問です（高校数学の範囲）

ANo.1です。

#2です。

#1さんの説明はシンプルでわかりやすいですね。

この回答への補足

∫ydx（つまりxで積分したもの）が「xy平面上の面積」を示すなら、

この回答への補足

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