[至急]曲面積の求め方について

[(√x^2+y^2)-2]^2+z^2=1
(z>=1)のときの曲面積の求め方が分かりません！

質問者からの補足コメント

• z>=0の場合です！誤植です。

    補足日時：2022/02/03 20:39

No.3 回答者： mathmajician 回答日時： 2022/02/05 09:31

No.2の回答者です．

計算結果に誤りがありました．
以下，訂正と補足．
2π(π－1)ではなく，正しくは4π^2になります．
なお，前回の回答では省きましたが，問題文の曲面は
「トーラス」と呼ばれるよく知られた曲面で，xy平面の円
x^2+(y-2)^2=1をx軸の回りに回転して得られます．
（このことを利用した面積公式を用いる（1変数のもの）求め方
もあります．
→http://www2.itc.kansai-u.ac.jp/~afujioka/hit/c2/ …
（p.4の問題10の1．解答はp.5．）
また，さらにこのような捉え方をすると，曲線の回転で得られた曲面の表面積に関する性質（「パップス・ギュルダンの定理」といいます．
→https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%91%E3%83%83 …）を利用する求め方，すなわち
「求める曲面積は，回転する小円x^2+(y-2)^2=1の面積πと小円の中心の描く大円（中心が原点で半径が2の円．yz平面に含まれます）の円周の長さ4πとの積に等しい」
と考えて，曲面積を得るやり方もあります．
→トーラスの概論：https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%BC …）
回答の訂正と補足は以上になります．

No.2 回答者： mathmajician 回答日時： 2022/02/04 19:11

[√(x^2+y^2)-2]^2+z^2=1…①※

(z>=0)…②　※①の左辺の「√」の中身が紛らわしかったので()の位置を変更しました．以下，√の中身の関数はx^2＋y^2としています．（違っていたらごめんなさい．）
「教科書通り」の解き方なら「曲面積を求める公式」を利用します．
すなわちS=∬_D√(1+z_x^2+z_y^2)dxdy…➂を使います．（S：求める曲面積，z=f(x,y)：曲面積を定める2変数関数，D：曲面積を定める積分領域）
ご質問の問題にこの公式を当てはめる場合，z=f(x,y)とDを自分で決める必要がありますが，次のように考えると類題にも使いやすいと思います．
(1)まず①を②について解いてz=f(x,y)(≧0)の式を作る．
→これで➂の被積分関数が定められます．（偏微分の計算はお任せします．）
(2)次にDですが，細かいことは気にせず，「zの実数条件としてx,yの満たす範囲を定めればよい」と考えればすぐに得られます．
→実際，①をz^2について解けば，z^2≧0（これが「実数条件」）より
1－[√(x^2+y^2)-2]^2≧0となるので，さらにこれを1－A^2≧0と見なしてA(＝√(x^2+y^2)-2)について解けば―1≦A≦1より整理して
1≦√(x^2+y^2)≦3が得られます．
→これでDが定まりました．
(3)(1)と(2)から③を使うのための関係がすべて得られたので，あとはこれらを当てはめて2重積分の計算を実行します．
→代入して整理すると③はS＝∬_D(1/z)dxdy, D：1≦√(x^2+y^2)≦3
→この後は，ちょっと面倒ですが，x＝rcosθ, y＝rsinθとおいて「2重積分の変数変換の公式」を利用して，極座標変換により計算します．
→整理してS＝∬_E [r/√{1－(r－2)^2}]drdθ, E：1≦r≦3, 0≦θ≦2π
→あとは累次積分が実行可能ですので，この右辺の2重積分の値を求めて終了となります．（ここはお任せします．）
→間違ってなければ，計算結果は2π(π－1)となります．（←回答者の計算結果．違っていたらごめんなさい．ただし，上記の「流れ」に誤りはありません．）

回答は以上になります．

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/02/03 23:33

r = (√x^2+y^2)

と置いて、円筒座標系(r,θ,z)を考えればいいんです。
z軸と平行な平面(例えばθ=0)上で中心が(r,z)=(2,0)にある半径1の円を、z軸回りに回転してできるドーナツ面（の半分）、ってことですから、回転体の表面積を計算するだけ。