微積分の問題

曲線C : y = −1/2x²+xと点A(2、0)を通る傾きm (−1 < m < 0)の直線lがある。Cとlで囲まれる図形の面積をS1，Cとlとy軸のすべてで囲まれる図形の面積をS2とするとき，S1 =S2となるようなmの値を求めるとどうなりますか？

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2020/06/12 13:47

m=-1/3

ℓの方程式はy=m(x-2)で、-1<m<0よりCとℓは0<x<2で交わる（もう一つの交点は点A）ことが判る。
グラフを眺めればすぐに判るように、S1=S2ということは、∫[0→2]{m(x-2)-(-1/2x²+x)}dx=0ということ
だから、これを解いて、m=-1/3

No.1 回答者： masterkoto 回答日時： 2020/06/12 13:39

グラフの概形をイメージするか実際に書いて、状況を把握です

CもA(2,0)を通る！
ｌの式は　y=m(x-2)
CとLの交点のｘ座標は
m(x-2)＝-1/2x²+x 　の解
⇔x²+(2m-2)x-4m=0
⇔(x-2)(x+2m)=0
x=2,-2m (ゆえにもう一つの交点は(-2m,-2m²-2m))
ゆえに　CとLだけで囲まれる部分の面積は
∫[-2m→2]{-1/2x²+x-m(x-2)}dx
=(-1/2)∫[-2m→2]x²+(2m-2)x-4mdx
=(-1/2)∫[-2m→2](x-2)(x+2m)mdx
定積分部分は1/6公式利用で
=(-1/2)・(-1/6){2-(-2m)}
=(1/6)(m+1)

次に　CとLとｙ軸で囲まれる部分の面積
Cとｘ軸と直線x=-2mで囲まれる部分の面積（S3とする）は
S3=∫[0→-2m](−1/2x²+x)ｄｘ
Lとy軸とx軸とx=-2mで囲まれる台形の面積（S4)は
S4=(上底＋下底）ｘ高さ÷２＝{-2m+(-2m²-2m)}x(-2m)÷２
∴S2=S3+S4
S1=S2となるｍを求めて完了