No.3
- 回答日時:
fは2次元の線形空間R^2={(x,y)|x,y∈R}から1次元の線形空間Rへの線
形写像とする。
R^2では(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2)というような演算になっている。
fが線形写像なら、f(((x1,y1)+(x2,y2))=f(x1,y1)+f(x2,y2)となるから、
f((0,0)+(0,0))=f(0,0)+f(0,0)
また、(0,0)+(0,0)=(0,0)だから、
f((0,0)+(0,0))=f(0,0)
よって、f(0,0)+f(0,0)=f(0,0)
両辺からf(0,0)を引くと(f(0,0)は実数である。)、f(0,0)=0
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
2変数の線形関数ならば
f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z),
f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z),
f(cx, y) = f(x, cy) = cf(x, y)
をみたすことになります。
もし、f(0,0)=k (kは0でない定数)ならば、
線形性をみたすには1つめの式を用いて、
f(0,0)=f(0+0,0)=f(0,0)+f(0,0)=2k
これよりk=2k、つまりk=0でなくてはならず、
これはkが0でないことに矛盾します。
よってfは線形関数でないということになります。
もしくは、3つめの式を用いて
f(0,0)=f(a*0,0)=af(0,0)=ak (aは1でない定数)
となり、kが0でないことに矛盾、よってfは線形関数でない。
としても良いでしょう。
どちらにせよ
「f(0,0)=0でない」→「fは線形関数ではない」
なので、その対偶を取ることによって
「fが線形関数である」→「f(0,0)=0である」
となります。
・・という感じだったと思いますけど・・。
参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B7%9A%E5%9E%8B% …
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