困ってます。マクローリン展開です！

f(x)=tanθをマクローリン展開するとどうなりますか？

No.1 回答者： rikarin-h 回答日時： 2007/12/29 03:49

ｘでできている関数ｆなはずなのに、tanθはおかしいんじゃない？

この回答への補足

すいません！
f(θ)=tanθです！

補足日時：2007/12/29 08:02

No.2 回答者： peeea 回答日時： 2007/12/29 09:34

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa1672313.html

上記のQ&Aはテイラー展開について書いていますが
θ=0を代入するとマクローリン展開になります

No.3 ベストアンサー 回答者： info22 回答日時： 2007/12/29 14:15

> f(x)=tanθ

f(x)=tan x とします。
tan x は奇関数ですから、展開項はxの奇数乗項だけになることに注意して下さい。
マクローリン展開結果のみ必要ならネットで検索すれば出て来ます。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%B1%95%E9%96%8B
ここには
tan x=Σ[n=1→∞] [B_(2n)*{(-4)^n}{1-(4^n)}/(2n)!]*x^(2n-1)
Bkはベルヌーイ数（次のURLに掲載）です。
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%A4%E6%95%B0
ベルヌーイ数を使わない展開であれば、例えば
ttp://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html (22)式
ttp://www.lab.toho-u.ac.jp/sci/c/math/DINT.pdf (6.4 (6)　Out[6])
などに掲載。
tan x= x + x^3/3 + 2x^5/15 + 17x^7/315 + 62x^x9/2835 +…
ですね。

求め方は
ひたすらf(x)=tan(x)の(2n-1)次微係数を計算し
x^(2n-1)
の係数
f^(2n-1) (0)/(2n-1)!
を計算するしかありません。
f'(x)=sec(x)^2,f'(0)/1!=1
f^(3)(x)= 4*sec(x)^2*tan(x)^2+2*sec(x)^4, f^(3)/3!=2/6=1/3
f^(5)(x)=16*sec(x)^2*tan(x)^4+88*sec(x)^4*tan(x)^2+16*sec(x)^6
f^(5)(0)=16/5!=2/15
f^7(x)=
f^7(0)/7!=272/7!=17/315
…
と計算して行けばOKです。
式が長くなりますので高次の項まで求めるには
数式処理ソフトを使った方が効率的です。
フリーソフトのMaximaの場合は
taylor(tan(x),x,0,13);
でx^13乗項までの展開式が瞬時に求まります。
展開項の係数が必要なら
for n:1 step 2 thru 11 do print(diff(tan(x),x,n),subst(0,x,diff(tan(x),x,n))/n!);
でx^13迄の高次微係数とマクローリン展開の各項の係数が一気に
計算できます。

色々やってみて下さい。