三角関数

この問題を教えて下さい。解と係数の関係と加法定理でtan(α+β)を出して式に代入して解くことまでは分かったんですけど、式変形がなかなか上手くいきません

No.4 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/03 23:58

tan(α+β) の値が判ったなら、

α+β の値は周期 π で特定されてんだから
sin(α+β) と cos(α+β) の値は ± の違いだけで 2組に決まるじゃない。
それを代入すればいいだけじゃない？

この回答へのお礼

お礼日時：2024/05/04 02:59

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/06 16:00

←No.7

No.6 の文末に「たぶん」と添えなかったことは、謝る。

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/04 15:53

ほっほうー、あなたの設計だったんでっかぁ・・・・

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/05/04 14:42

細かいことだけど、No.4 の意図は No.5 の計算ではないので、

そこだけちょっと付記。

与式 sin²(α+β) + 3sin(α+β)cos(α+β) - 2cos²(α+β) を
いろいろ変形しなくても、
No.2 のようにして tan(α+β) = -1 が判ったら、ただちに
( cos(α+β), sin(α+β) ) = ± ( 1/√2, -1/√2 ) に決まるから、
これをこのまま与式へ代入して、値が決まるでしょって話。

代入すると、うまく ± が消えるようにできてる。
そうじゃなきゃ与式の値は決まらないんだから、
もともとそういう設計の問題なんだよ。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/05/04 05:55

tanα+tanβ=-3

tanαtanβ=-2
tan(α+β)=-1
sin(α+β)=-cos(α+β)

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2024/05/03 23:45

θ = α+β

と書くことにし、わかりやすくするために
　　A = tanθ
と書くと、

> 解と係数の関係と加法定理でtan(α+β)を出して

Aの値がわかる。と、ここまでは出来てるんですよね。

　さて、問いが求める式の値をzとすれば、No.1のご助言に従って
　　z = ((tanθ)² + 3tanθ - 2)(cosθ)² = (A² + 3A - 2)(cosθ)²
一方、
　　A cosθ = sinθ
だから、
　　A²(cosθ)² = (sinθ)² = 1 - (cosθ)²
つまり
　　(cosθ)² = 1/(A² + 1)
あとはできるっしょ。

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/05/03 22:45

解と係数の関係から

　tanα+tanβ=-3, tanαtanβ=-2
すると
　tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=-1

与式=cos²(α+β){tan²(α+β)+3tan(α+β)-2}
　　=cos²(α+β)( (-1)²-3-2 )=-4/{1+tan²(α+β)}
　　=-4/(1+1)=-2

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2024/05/03 22:32

tan(α+β) が出ているなら

cos^2(α+β) をくくりだす
かなぁ.