No.1ベストアンサー
- 回答日時:
一次独立の条件=一次従属でない条件
(ともに0ベクトルでない場合)
一次従属の条件
b/1 = c/a
or
c=ab
よって c が ab と 等しくないこと
かつ a=b=0 でないこと
が一次独立の条件
No.2
- 回答日時:
1次独立であるという定義をもう一度見直してみましょう。
縦ベクトルは表記しにくいので、横ベクトルで失礼。
ベクトル (x→) = (1,a) と (y→) = (b,c) が一次独立である
s(x→) + t(y→) = 0 ⇒ s = t = 0
ですから、質問者さんのように
t(1)+bt(2)=0
at(1)+ct(2)=0
とおいたら、この連立方程式が t(1)=0 かつ t(2) = 0 以外に解を持たないように a,b,c を定めれば良い。
行列表記して、
A=|1 b|
|a c|
At = O
が(t→) = 0 以外の解を持たない条件は、Aが逆行列を持つ c - ab ≠ 0 となります。
2本のベクトルが1次独立って、先にも書いたように
s(x→) + t(y→) = 0 ⇒ x = t = 0
ですから、逆に1次従属ならば、(x→) = α(y→), (y→)=β(x→)とかける。つまり、2本のベクトルが平行ならば1次従属、平行でなければ1次独立。先に戻って、(1,a) と (b,c) が1次独立ならばこれらは平行であってはいけないので、c ≠ ab がその条件。a,bは0でもOKです。例えば (1,a)=(1,0), (b,c)=(0,1) のとき、これらは1次独立。
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